Come trovare un percentile da una distribuzione normale

Se dopo un test si vuole confrontare la propria attitudine rispetto agli altri studenti, il percentile consente di confrontare i numeri in un insieme di dati, i quali forniscono la percentuale di punti dati sotto un numero specifico. Se si è al 50° percentile, significa che il proprio punteggio totalizzato è superiore al 50 per cento di tutti gli altri studenti. Ci sono due modi diversi per calcolare il percentile: il primo è utilizzato se si conoscono tutti i numeri nell'insieme dei dati; il secondo viene impiegato se si conosce solo la media e la deviazione standard. Ma ora vediamo come trovare un percentile da una distribuzione normale.

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Un percentile è il valore in una distribuzione normale che ha una percentuale specificata di osservazioni al di sotto di esso. I percentili sono spesso usati nei test standardizzati come il GRE e nel confrontare altezza e peso dei bambini per misurare il loro sviluppo rispetto ai loro coetanei. La tabella seguente mostra una parte dei gradi percentili per i punteggi verbali e quantitativi sull'esame GRE. Ad esempio, se hai ottenuto 166 nella parte di ragionamento quantitativo del GRE, il 91% di coloro che hanno sostenuto il test ha ottenuto un punteggio inferiore a te. Se il tuo punteggio era 153, il 51% di coloro che hanno sostenuto l'esame ha ottenuto un punteggio inferiore a te. Tutti i punti dati sono noti, disporli dal più piccolo al più grande. Per questo esempio, saranno usati i numeri 76, 77, 80, 81, 84, 85, 86, 88, 93, 97, 99. Calcolare la posizione, contando da sinistra del percentile nell'insieme dei numeri. Per questo esempio, verrà calcolato l'80° percentile. La posizione del percentile è pari alla percentuale diviso 100 e moltiplicato per il numero di colonne nel gruppo di dati, arrotondato poi il risultato al numero intero più vicino. In questo esempio, la posizione è 80 diviso 100, moltiplicato per 11 o 8.8. Arrotondando al numero intero più vicino, si ottiene che l'80° percentile si trova nella posizione n° 9. Contare dal grado più piccolo al più grande per determinare il percentile: in questo esempio, il numero nella posizione 9 è 93. Quindi, 93 è l'80° percentile.

Per ogni distribuzione normale una probabilità del 90% corrisponde a un punteggio Z di circa 1,28. Avremmo anche potuto calcolarlo usando R usando la funzione qnorm() per trovare il punteggio Z corrispondente a una probabilità del 90%.
> qnorm(0.90)
[1] 1.281552
Quindi, data una distribuzione normale con ? =29 e ? =6, quale valore di BMI corrisponde a un punteggio Z di 1,28?
Sappiamo che Z=(x-?)/?.
In precedenza, conoscevamo x, ? e e calcolavamo Z. Ora conosciamo Z, ? e ? e dobbiamo calcolare X, il valore corrispondente al 90 ° percentile per questa distribuzione. Possiamo farlo riorganizzando l'equazione per risolvere per "x". Se sono noti soltanto la media e la deviazione standard, si può utilizzare una tabella di distribuzione normale per trovare il punteggio Z associato al percentile. Per questo esempio, conoscendo solo la media e la deviazione standard di tutti i punteggi piuttosto che ogni numero nell'insieme di dati, è necessario trovare l'80° percentile quando la media è di 85 e la deviazione standard è 7.7. Trovare il numero più vicino a 0.8 della tabella di distribuzione normale, che dovrebbe essere 0,79955.

Ora bisogna trovare il punteggio Z dalla tabella. Da 0,79955, seguire la riga verso l'estrema sinistra e leggere la prima parte del punteggio Z, che in questo caso è 0.8. Partendo sempre da 0,79955, seguire la colonna verso l'alto e leggere l'etichetta, che in questo caso sarà 0,04. Sommare questi due numeri per ottenere il punteggio Z, che è 0.84. Calcolare il percentile utilizzando l'equazione del punteggio Z, che è pari al percentile meno la media, diviso per la deviazione standard. In questo caso, 0.84 - 85 / 7,7. Oppure, più semplicemente 0,84 * 7,7 + 85 = 91.

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