Come trovare un membro mancante in una proporzione

Rapporti e proporzioni sono una parte importante dall'aritmetica. Capendo come si risolvono questi problemi si possono capire in seguito concetti più complessi come le scale e gli ordini di grandezza. In aritmetica le proporzioni sono formate da quattro elementi chiamati membri: due sono quelli interni e due quelli esterni. Quando il valore di uno degli elementi è ignoto, calcolarlo potrebbe sembrare difficile, ma tenendo presente le proprietà delle proporzioni, potremmo risolvere il problema in modo molto semplice. Vediamo come trovare un membro mancante in una proporzione.

Una proporzione è semplicemente una uguaglianza fra due rapporti. Essa può essere scritta in due formati: come due frazioni uguali a / b = c / d oppure, soprattutto per gli allievi delle scuole elementari utilizzando il simbolo dei due punti, a: b = c: d. Nei problemi relativi alle proporzioni, possiamo utilizzare i così detti prodotti trasversali per verificare se I due rapporti sono uguali e formano una proporzione. Per trovare i prodotti trasversali di una parte, si moltiplicano le condizioni esterne, chiamate gli estremi, e le condizioni medie, chiamate i mezzi. La proprietà fondamentale delle proporzioni, che ci permetterà di calcolare l'elemento mancante è la seguente: il prodotto dei membri interni è uguale al prodotto dei membri esterni. Questo significa che, se dobbiamo calcolare un elemento interno, dovremo moltiplicare tra loro i due estremi e andare a dividere il risultato dell'operazione per il valore interno noto.

Vediamo un esempio concreto, in cui chiameremo x il valore interno mancante. Consideriamo la proporzione 20: x = 12 : 6. In questo caso abbiamo due valore esterni ed un valore interno noto, dobbiamo trovare l'altro interno mancante. Come spiegato sopra, andiamo a moltiplicare fra loro i due estremi: 20 * 6 = 120. Adesso dividiamo il risultato ottenuto per il valore interno noto: 120 : 12 = 10. Ecco che abbiamo trovato così il valore medio mancante, vale a dire x = 10. In molti casi si consiglia di ridurre i termini delle proporzioni, nel caso appena riportato, per esempio 12 : 6 può essere agevolmente ridotto a 2 : 1 dividendo entrambi i termini per 6. Questo perché lavorare con numeri troppo grandi, se non necessari, può appesantire il calcolo, senza portare nessun vantaggio pratico. La riduzione andrebbe applicata solo se il rapporto che ne risulta è un numero razionale o riconducibile ad esso, altrimenti si finisce per introdurre un errore di troncamento.

Analizziamo invece il caso in cui l'elemento mancante sia un estremo. Per risolvere il problema, dovremo andare a moltiplicare tra di loro i valori dei membri interni, quindi dividere il risultato dell'operazione per il valore del membro esterno noto. Andiamo anche in questo caso ad accertarci della correttezza del risultato e verifichiamo se il prodotto dei membri esterni della proporzione è uguale al prodotto dei membri interni. 20 * 3 = 60 e 4 * 25 = 60. La verifica ha dato il risultato che speravamo, possiamo quindi dire, anche in questo caso, di aver ottenuto il risultato giusto, la proporzione completa è 20:4 = 15:3. Anche in questo caso, se è possibile fare delle riduzioni è bene provvedere prima di iniziare i calcoli, perché questo passaggio ci permette di ridurre la quantità di calcolo.

Una vota chiarito il metodo per risolvere le proporzioni, vediamo quali sono alcuni dei campi di applicazione. Il più diffuso è il calcolo percentuale: si tratta di una proporzione in cui da un lato si indica la quantità rispetto al totale, mentre dall'altro lato dell'uguaglianza troveremo un numero e il numero 100. Una notazione letterale potrebbe essere "un bicchiere di volume V è il 25% di una bottiglia di volume L" e questo indica che V : 25 = L: 100. Disegni in scala: spesso, per ovvi motivi, i progetti non riportano le dimensioni fisiche effettive degli oggetti finiti, per esempio una casa non potrà essere disegnata su un foglio A3 rispettando le dimensioni. Si ricorre allora a notazioni come 1 : 400 che significa per esempio "1 metro sul disegno sono 400 metri nel mondo reale".

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