Come trovare seno e coseno avendo la tangente

Tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

La trigonometria si occupa dei rapporti matematici che intercorrono fra i lati dei triangoli e gli angoli aperti fra questi. Ci sono due elementi principali da conoscere in trigonometria, le funzioni seno e coseno, che fra l'altro aprono la via alla teoria dei numeri complessi. Fra seno e coseno di un angolo intercorrono varie relazioni come {[sen (x)]^2+[cos (x)]^2}=1 valida per tutti gli angoli x espressi sia in gradi che in radianti, ed una ancor più importante che definisce una funzione detta "Tangente" che fra le varie cose è indispensabile conoscere perché usata comunemente nella risoluzione delle equazioni algebriche con funzioni trigonometriche. In questa breve guida introduttiva vediamo come trovare seno e coseno avendo la tangente, le principali relazioni e alcune cose da sapere per affrontare problemi anche molto avanzati, tipici per esempio dell'ingegneria e della fisica.

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Occorrente

  • Tabelle trigonometriche
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Circonferenza a raggio unitario

La trigonometria fa uso della così detta "circonferenza di raggio unitario". Si tratta di una normalissima circonferenza con il centro coincidente con l'origine degli assi coordinati e che ha un raggio di lunghezza unitaria, cioè di valore 1. Qualsiasi circonferenza può essere ridotta a questa condizione semplicemente scalandone il raggio fino ad essere di lunghezza 1. Si traccia un triangolo rettangolo qualsiasi che abbia uno degli angoli acuti che insiste sul centro e l'altro vertice acuto che insite sul cerchio. I due cateti del triangolo di ipotenusa 1 ottenuti in questa maniera, proiettata ortogonalmente sugli assi x e y, si dicono coseno e seno rispettivamente. In base a queste relazioni se ne possono ricavare altre, ed una particolarmente utile è quella sulla tangente.

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Seno, coseno e tangente

Una volta stabilite le figure di seno e coseno se ne può definire una terza, che è detta tangente. Si traccia una retta parallela all'asse y passante per il punto di coordinate (1,0) ossia per dove il cerchio interseca l'asse x e si prolunga il raggio del triangolo rettangolo fino a che questo non intercetta la retta. Se si traccia correttamente il disegno, il segmento che va dal punto (1,0) fino al punto (1, t) è direttamente proporzionale al seno dell'angolo secondo il teorema di Talete. Analogamente si nota che il segmento (1,0) è un multiplo del coseno. Giocando un po' con le relazioni di scala si trova la relazione che definisce la tangente ossia tg (x)=[sen (x)]/[cos (x)]. Con un minimo di conoscenze di studio di funzioni si fa presto a scoprire che essendo i valori di seno e coseno comunque compresi fra -1 e 1, la tangente non può che essere compresa fra valori infiniti. In sostanza la tangente presenta asintoti per i valori di x in cui il coseno si annulla.

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Seno e coseno data la tangente

Passando al calcolo del seno e del coseno data la tangente, torniamo ad elencare le due relazioni da applicare:
[sen (x)^2]/[cos (x)^2]=1
e
tg (x)=[sen (x)]/[cos (x)]
si inverte la prima e si ricava:
sen (x)^2=1-cos (x)^2
e da questa:
cos (x)=+/-sqrt[1-sen (x)^2]
unendo le due relazioni troviamo l'espressione della tangente in funzione del solo seno

tg (x)=[sen (x)]/{+/-sqrt[1-sen (x)^2]}

avendo definito la radice quadrata come sqrt in maniera coerente con i principali linguaggi di programmazione. A questo punto non resta che invertire la relazione elevando al quadrato a destra e a sinistra. Tenendo presenti i segni di seno e coseno in funzione della posizione dell'angolo in uno dei quattro quadranti, si avrà infine una relazione piuttosto complicata da scrivere ma in realtà semplice da usare. Senza complicarsi troppo in calcolo, è sufficiente:

sen (x)=tg (x)]/{+/-sqrt[1+tg (x)^2]}
e
cos (x)=1/{+/-sqrt[1+tg (x)^2]}
rispettivamente.
Facciamo un esempio. "dato un angolo la cui tangente vale -sqrt (5)/2 calcolare il seno sapendo che l'angolo è tra 0.5pi e pi dove con pi si designa il pi greco"
il calcolo ci da che tg (x)^2=5/4
sen (x)= {-sqrt (5)/2}/{+/-sqrt (1+5/4)}

il seno risulta quindi {-sqrt (5)/2}/{+/-sqrt (9/4)}=sen (x)
stabilito che il seno dell'angolo per le condizioni date è positivo, il suo valore è necessariamente
sen (x)=sqrt (5)/3


.

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