Come trovare l'incentro di un triangolo

La geometria è notoriamente una materia scolastica che crea non pochi grattacapi agli alunni che si accingono ad affrontarla. Uno degli argomenti più vasti e complessi è di certo quello che vede come protagonista il triangolo, ovvero quel poligono costituito da tre lati e tre angoli. In un triangolo, anche le bisettrici sono tre, ovvero quelle rette che dividono a metà i tre angoli. Il loro punto di intersezione è l'incentro: esso ha la caratteristica di trovarsi sempre all'interno della figura, a differenza del caso dell'ortocentro, ovvero del punto di incontro tra le tre rette che costituiscono le altezze relative ai tre lati. In questa guida vedremo insieme come fare per trovare l'incentro di un triangolo, ricorrendo a semplici costruzioni geometriche.

• Foglio quadrettato o millimetrato (facoltativo)
• Squadrette o righello
• Compasso

Prima di tutto va disegnato il triangolo nella maniera più precisa possibile. A tal scopo potete aiutarvi con un foglio quadrettato, oppure utilizzando due squadrette per mantenere la perpendicolarità reciproca. Questo accorgimento è molto importante nel caso in cui vogliate costruire principalmente un triangolo rettangolo o equilatero. Col triangolo equilatero infatti potete dar vita ad un poligono con tre lati (e tre angoli identici) solo se ciascuna altezza risulterà perpendicolare al lato opposto al vertice considerato. Se dovete disegnare un triangolo scaleno, ovvero dai lati tutti di misure diverse, vi basterà collocare tre punti su un foglio e congiungerli con un righello. Se quest'ultimo è graduato, potrete avere le misure precise ed essere certi della diversità dei tre lati.

Chiamato il triangolo ABC, prendete un compasso e dategli un'apertura a piacere. Posizionatelo in uno dei vertici del triangolo, per esempio in A, e tracciate la curva che intersechi la figura sui due lati adiacenti al punto, che in questo caso sono AB e AC: chiameremo i due punti di intersezione trovati P ed S. Prendete nuovamente il compasso, con la stessa apertura di prima, e posizionatelo in P, disegnando una curva nella parte interna del triangolo, praticamente di poco traslata rispetto alla curva iniziale. Ora fate la medesima cosa nel punto S: a questo punto vi ritroverete con un nuovo punto di intersezione dato dalle due curve. Unite questo punto con A e avrete trovato la bisettrice nell'angolo A.

Per trovare le altre due bisettrici, ripetete il procedimento negli angoli B e C. L'apertura del compasso può essere anche diversa rispetto a quella utilizzata per la bisettrice passante per il punto A, ma deve essere uguale all'interno del procedimento della costruzione delle due curve intersecanti. Arrivati a questo punto, risulta indispensabile tracciare delle rette bisettrici di ciascun angolo abbastanza lunghe da potersi incontrare in un punto, contenuto sempre all'interno della figura.

Una volta costruite correttamente le bisettrici e fatte incontrare il gioco è fatto: l'incentro è il punto di intersezione tra di esse ed è uno ed uno solo all'interno di qualsiasi triangolo. Per determinarne le coordinate, se vi trovate su un piano cartesiano, potete ricorrere alle opportune formule di geometria analitica, oppure aiutarvi con un righello graduato qualora le misure siano costituite da numeri interi e dunque facili da tracciare e da individuare.

• L'incentro di un triangolo

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