Come trovare l'equazione della retta nel piano

Tramite: O2O 27/04/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Partendo da due degli elementi primitivi della geometria, come retta e piano, vedremo come trovare l'equazione di una retta nel piano, poiché per poterlo fare abbiamo bisogno di degli elementi. Inoltre a corredo della guida, sarà possibile consultare il link fornito per meglio comprendere la rappresentazione della retta. Tali elementi possono essere: due punti appartenenti al piano, oppure un punto e il coefficiente angolare della retta. Vediamo come procedere.

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Elementi sufficienti

Come accennato in precedenza, abbiamo a disposizione due strade per descrivere l'equazione di una retta nel piano, in base agli elementi di cui disponiamo. La cosa fondamentale è l'individuazione delle coordinate del primo punto, mentre risulta ininfluente l'individuazione del secondo. Individuato il primo punto possiamo procedere o con l'individuazione del secondo, oppure attraverso il calcolo del coefficiente angolare, quest'ultimo altro non è che l'angolo formato dalla retta con l'asse delle ascisse. Vediamo i due casi.

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Un punto e il coefficiente angolare

Analizziamo prima il caso i cui elementi per l'individuazione sono le coordinate di un punto P (Y0; X0) e il coefficiente angolare m. Per individuare l'equazione della retta passante da quel preciso punto, partiamo dall'equazione generica del tipo y = mx. Quest'ultima viene utilizzata nel caso in cui la retta risulta passante per l'origine degli assi. Qualora la retta non dovesse passare per l'origine degli assi, a tale equazione dovremmo aggiungere un termine q. Questo viene detto termine noto, indica la coordinata y del punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate (ordinata all'origine). Imponendo il passaggio per il punto P, avremo: Y0 = mX0 + q. Una volta giunti qui, andremo ad effettuare una sottrazione membro a membro, y - Y0 = m (x - X0) + q. Sostituendo ad Y0 e X0 le coordinate del punto, facciamo le opportune semplificazioni, ottenendo quindi l'equazione del tipo y = mx, che rappresenterà proprio l'equazione della retta.

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Equazione canonica della retta

Spendiamo due parole sull'equazione canonica della retta, ossia y=mx+q, per capire meglio da dove salta fuori. Molto bene, prendiamo quindi in considerazione una generica equazione di primo grado, del tipo ax+by+c=0. Il nostro scopo è quello di ottenere una funzione y=f (x), pertanto dividiamo tutto per b, ottenendo in questo modo la seguente equazione (a/b) x + y + (c/b) = 0. Esprimiamo ora y in funzione di x, portiamo quindi (a/b) x e (c/b) al secondo membro. Avremo che y = -(a/b) x - (c/b), imponendo una semplice posizione, come: m=-(a/b) e q=-(c/b) e sostituendoli nella precedente equazione, giungiamo alla seguente y=mx+q.

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Due punti

Passiamo al secondo caso. Supponiamo di conoscere le coordinate di due punti, che chiameremo A (y1; x1) e B (y2; x2). Sfruttando la generica equazione y=mx, imponiamo il passaggio per il punto A, ottenendo così: y - y1 = m (x - x1). Da qui, attraverso la formula inversa ci ricaviamo il coefficiente angolare, più precisamente: m = (y - y1)/(x - x1).

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Passaggio per il secondo punto

Ripetiamo anche per il secondo punto. Imponiamo quindi il passaggio per B (y2, x2), ottenendo y2 - y1 = m (x2 - x1). Anche in questo caso, sarà necessario ricavare il coefficiente angolare, che ci verrà dato dal rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse dei due punti, secondo la formula m = (y2- y1)/(x2-x1).

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Conclusioni

Essendo i due punti appartenenti alla stessa retta, avremo che il coefficiente trovato con le due equazioni sarà lo stesso. Pertanto basterà imporre l'uguaglianza tra queste due equazioni al fine di ottenere l'equazione della retta passante per i due punti. Spero che questa guida vi possa essere d'aiuto nell'individuazione dell'equazione della retta nel piano.

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