Come trovare le rette tangenti ad una circonferenza in geometria analitica (metodo del delta)

La geometria analitica o cartesiana è una disciplina molto importante della matematica, e si riferisce allo studio delle figure geometriche attraverso il sistema di coordinate cartesiane. Ogni punto del piano cartesiano si indica con P (x, y), in quanto è definito dalle sue coordinate sul piano delle ascisse (x) e delle ordinate (y). In questa guida vedremo come trovare le rette tangenti ad una circonferenza utilizzando il metodo del delta.

• Problema da risolvere
• Impegno
• Conoscenza dei concetti base di geometria analitica

Vediamo come utilizzare il metodo del delta=0 per trovare le equazioni delle rette tangenti nei casi 2 e 3.
Per prima cosa mettiamo a sistema l'equazione del fascio di rette passante per P (x0; y0) e l'equazione della circonferenza, e otteniamo:
y - y0 = m (x - x0)
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0
Ora dobbiamo ricavare la y dall'equazione del fascio di rette e la sostituiamo nell'equazione della circonferenza. Otteniamo così un'equazione di secondo grado in y che sarà funzione della variabile x e del coefficiente m.

Consideriamo una circonferenza qualsiasi di equazione x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 e un punto P (x0; y0). Sono possibili tre casi differenti:
1) Il punto P è interno alla circonferenza; nessuna retta tangente passa per P.
2) Il punto P appartiene alla circonferenza; una retta tangente passa per P.
3) Il punto P è esterno alla circonferenza; due rette tangenti alla circonferenza passano per P.
Nello screenshot è possibile vedere un esempio dei 3 casi appena descritti. A conclusione della guida vediamo un esempio numerico.
Problema: Trovare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2 + y^2 - 4y + 3 = 0 condotte dal punto P (2;3).

Equazione del fascio: y - 3 = m (x - 2)

Sistema:
y - 3 = m (x - 2)
x^2 + y^2 - 4y + 3 = 0

Otteniamo la y dal fascio di rette:
y = m (x - 2) + 3

Sostituiamo la y nell'equazione della circonferenza:
x^2 + [mx - 2m + 3]^2 - 4[mx - 2m + 3] + 3 = 0
=... = (1 + m^2) x^2 + (-4m^2 + 2m) x + 4m^2 - 4m - 9= 0

Imponiamo il delta a 0:
delta = 20m^2 + 16m = m (20 + 16m) = 0

Otteniamo :
m1=0
m2= -(5/4)

I coefficienti angolari sono due, quindi la circonferenza avrà due tangenti, ovvero le rette di equazione
Y=3
3Y-4X-1=0.

Per risolvere l'equazione di secondo grado imponiamo che il discriminante o delta sia uguale a 0 (delta = b^2 - 4ac=0), in quanto affinché la retta sia tangente alla circonferenza nel punto P, le due soluzioni devono essere coincidenti. Infatti le due soluzioni indicano i due punti appartenenti contemporaneamente alla retta e alla circonferenza.
Dopodiché si risolve l'equazione ottenuta rispetto a m. Se si trovano 2 soluzioni le rette tangenti saranno 2, una con coefficiente m1 e l'altra con coefficiente m2. Se invece si trova un unica soluzione la retta tangente sarà una sola con coefficiente m.
Infine, per trovare l'equazione delle rette tangenti si sostituiscono i valori dei coefficienti m ottenuti nell'equazione del fascio di rette iniziale.

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