Come trovare le rette tangenti ad una circonferenza in geometria analitica (metodo del delta)

tramite: O2O
Difficoltà: media
15

Introduzione

La geometria analitica o cartesiana è una disciplina molto importante della matematica, e si riferisce allo studio delle figure geometriche attraverso il sistema di coordinate cartesiane. Ogni punto del piano cartesiano si indica con P (x, y), in quanto è definito dalle sue coordinate sul piano delle ascisse (x) e delle ordinate (y). In questa guida vedremo come trovare le rette tangenti ad una circonferenza utilizzando il metodo del delta.

25

Occorrente

  • Problema da risolvere
  • Impegno
  • Conoscenza dei concetti base di geometria analitica
35

METODO DEL DELTA
Vediamo come utilizzare il metodo del delta=0 per trovare le equazioni delle rette tangenti nei casi 2 e 3.
Per prima cosa mettiamo a sistema l'equazione del fascio di rette passante per P (x0; y0) e l'equazione della circonferenza, e otteniamo:
y - y0 = m (x - x0)
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0
Ora dobbiamo ricavare la y dall'equazione del fascio di rette e la sostituiamo nell'equazione della circonferenza. Otteniamo così un'equazione di secondo grado in y che sarà funzione della variabile x e del coefficiente m.

45

Consideriamo una circonferenza qualsiasi di equazione x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 e un punto P (x0; y0). Sono possibili tre casi differenti:
1) Il punto P è interno alla circonferenza; nessuna retta tangente passa per P.
2) Il punto P appartiene alla circonferenza; una retta tangente passa per P.
3) Il punto P è esterno alla circonferenza; due rette tangenti alla circonferenza passano per P.
Nello screenshot è possibile vedere un esempio dei 3 casi appena descritti. A conclusione della guida vediamo un esempio numerico.
Problema: Trovare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2 + y^2 - 4y + 3 = 0 condotte dal punto P (2;3).

Equazione del fascio: y - 3 = m (x - 2)

Sistema:
y - 3 = m (x - 2)
x^2 + y^2 - 4y + 3 = 0

Otteniamo la y dal fascio di rette:
y = m (x - 2) + 3

Sostituiamo la y nell'equazione della circonferenza:
x^2 + [mx - 2m + 3]^2 - 4[mx - 2m + 3] + 3 = 0
=... = (1 + m^2) x^2 + (-4m^2 + 2m) x + 4m^2 - 4m - 9= 0

Imponiamo il delta a 0:
delta = 20m^2 + 16m = m (20 + 16m) = 0

Otteniamo :
m1=0
m2= -(5/4)

I coefficienti angolari sono due, quindi la circonferenza avrà due tangenti, ovvero le rette di equazione
Y=3
3Y-4X-1=0.

Continua la lettura
55

Per risolvere l'equazione di secondo grado imponiamo che il discriminante o delta sia uguale a 0 (delta = b^2 - 4ac=0), in quanto affinché la retta sia tangente alla circonferenza nel punto P, le due soluzioni devono essere coincidenti. Infatti le due soluzioni indicano i due punti appartenenti contemporaneamente alla retta e alla circonferenza.
Dopodiché si risolve l'equazione ottenuta rispetto a m. Se si trovano 2 soluzioni le rette tangenti saranno 2, una con coefficiente m1 e l'altra con coefficiente m2. Se invece si trova un unica soluzione la retta tangente sarà una sola con coefficiente m.
Infine, per trovare l'equazione delle rette tangenti si sostituiscono i valori dei coefficienti m ottenuti nell'equazione del fascio di rette iniziale.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come trovare le rette tangenti a una parabola

In geometria, la parabola è una figura piana e la sua definizione è la seguente: È il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta che è detta "direttrice" e da un punto fisso, detto "fuoco". La parola "parabola" deriva dal greco ed è un'intersezione...
Superiori

Geometria analitica: la circonferenza

La geometria, insieme alla matematica, è probabilmente la materia più ostica sia per i bambini delle scuole elementari, sia per gli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Tale difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti sono...
Superiori

Come trovare l'equazione della retta in geometria analitica

Se il vostro insegnante vi ha assegnato un problema da risolvere di geometria analitica, e nello specifico vi chiede di trovare l’equazione della retta, non è il caso di preoccuparvi, poiché nei passi successivi di questa guida troverete la soluzione...
Superiori

Appunti di geometria analitica

Questa guida fornisce le conoscenze base per affrontare i problemi di geometria analitica con un grado di approfondimento per le scuole superiori. Gli appunti descrivono per ognuno dei luoghi geometrici, caratteristiche e definizioni nonché alcune problematiche...
Superiori

Come studiare un parametro in geometria analitica

Un esercizio che viene spesso assegnato dagli insegnanti di matematica riguarda un parametro della geometria analitica, che per essere approfondito necessita di uno studio appropriato affinché l'esito sia soddisfacente. Se avete dei dubbi in merito...
Superiori

Geometria analitica: l'iperbole

La geometria analitica studia le figure geometriche attraverso il piano cartesiano, in cui ogni punto è definito da due coordinate; con il termine ascisse indichiamo l'asse delle x e con ordinate l'asse delle y. Nella guida che segue ci occuperemo di...
Superiori

Come raccordare due archi di circonferenza con due rette incidenti in un punto tra i due centri

Raccordare due archi di circonferenza con due rette incidenti in un punto tra i due centri non è difficile come si può pensare ma si può risolve molto facilmente e rapidamente c'è bisogno di prestare solo molta attenzione nel seguire i passi indicati...
Superiori

Trovare Il Centro E Il Raggio Di Una Circonferenza Nel Piano Cartesiano

In questa guida parleremo di matematica, ed in particolar modo ci occuperemo di come trovare il centro ed il raggio di una circonferenza all'interno del piano cartesiano. Innanzitutto ricordate la definizione di circonferenza (in geometria e in aritmetica...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.