Come trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali

Tramite: O2O 03/09/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

In questo tutorial vi vogliamo insegnare, in modo chiaro e semplice, come trovare le radici di un polinomio con il teorema degli zeri razionali. Tante volte, specialmente tra gli studenti di primo e secondo anno delle superiori potrebbero avere problemi grandi relativamente alla ricerca delle radici di un polinomio. Tale operazione risulta piuttosto difficile, in quanto occorre provare a dividere il polinomio che risulta per i numeri casuali. Buona lettura e buono studio!

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Occorrente

  • Foglio di carta
  • Penna
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Vi spieghiamo il Teorema di Ruffini

La ricerca degli zeri razionali di un polinomio è abbastanza complicata quando tale non è un prodotto notevole e nemmeno un caratteristico trinomio. L'unico metodo che siamo a conoscenza per dividere un polinomio maggiormente veloce e facile è quello con il Teorema di Ruffini. Esso enuncia che "un polinomio P (x) è divisibile per un binomio (x-a) se P (a)=0". Sintetizzando, tale teorema dice che se si sostituisce alle "x" del polinomio dato il valore "a" e il polinomio risulta nullo, "a" è lo zero del polinomio. Dovrete sapere anche che zero, oppure radice sono termini equivalenti ed indicando il numero per il polinomio si annulla.

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Vi spieghiamo come è il procedimento quando nel polinomio la variabile "x" appare con esponenti diversi

Quando nel polinomio la variabile "x" appare con esponenti diversi, il procedimento è maggiormente lungo. Dovrete prima di tutto considerare che un polinomio P (x) con la variabile "x" che ha esponenti 0, 1, 2, 3, 4. Il termine dove la variabile ha l'esponente 0 si chiama termine noto, ed è essenziale per ricercare le radici di P (x). A tal punto, occorre considerare i divisori del termine conosciuto, e dovrete dividere il polinomio per tali numeri con la regola di Ruffini. Se il resto R (x) della divisione risulta essere nullo, potrete scrivere P (x)=Q (x)*(x-a) indicando con Q (x) il quoziente della divisione e con "a" lo zero del polinomio.

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Considerate anche il coefficiente del termine che abbia la variabile elevata all'esponente maggiore

Se invece il resto non è zero, dovrete considerare anche il coefficiente del termine che abbia la variabile elevata all'esponente maggiore. In tal caso occorrerà usare un'altra regola che potrà essere considerata quella generale per la risoluzione del problema interamente, cioè, più precisamente enuncia che "I valori della radice del polinomio dato, devono essere ricercati tra tutte quelle frazioni che hanno per numeratore i divisori, cioè negativi oppure positivi del termine noto, e per denominatore i divisori del coefficiente del termine di grado massimo".

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Vi indichiamo il procedimento per eseguire la vostra divisione

Quando avrete applicato la regola di Ruffini, per eseguire la vostra divisione che vi abbiamo indicato sopra, per essere maggiormente sicuri del risultato ottenuto potrete ricorrere alla verifica in tal modo: sarà sufficiente moltiplicare il quoziente Q (x) per il binomio (x-a). Se vedete che ottenete il polinomio di partenza, il procedimento è stato svolto in modo esatto.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Verificare sempre il risultato ottenuto
  • Non è sempre vero che esistano delle radici razionali
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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