Come trovare le coordinate del vertice di una parabola

Se devi risolvere un particolare compito di geometria analitica e il testo del tuo esercizio ti richiede di trovare le coordinate del vertice di una parabola, a seguire sarà illustrata una semplice e rapida guida che ti aiuterà nel calcolo. Le parabole hanno sempre un punto più basso (o un punto più alto, se la parabola è capovolta); questo punto, dove la parabola cambia direzione, è chiamato il "vertice". Ecco dunque come trovare le coordinate del vertice di una parabola.

• Fogli protocollo a quadretti
• Penna o matita

Per calcolare le coordinate del vertice della tua parabola, la prima cosa che dovrai fare sarà quella di stabilire se l'asse della parabola è parallelo all'asse y, ossia l'asse delle ordinate, oppure se è parallelo all'asse x, ossia l'asse delle ascisse. Nel primo caso, l'asse della parabola sarà verticale, mentre nel secondo caso l'asse sarà orizzontale, dunque sarà semplice distinguere il caso specifico del tuo esercizio di geometria analitica, a partire dal grafico che avrai a disposizione.

Ecco come potrai trovare le coordinate del vertice di una parabola il cui asse è parallelo all'asse y. L'equazione generica della parabola, in questo caso, sarà:

y = ax² + bx + c

Di conseguenza, per trovare le coordinate del vertice non dovrai fare altro che applicare la seguente formula:

V = (-b/2a, - Δ/4a)

Nella formula del vertice (V), potrai vedere che il valore di Delta (Δ) è facilmente calcolabile con la piccola formula:

Δ = b² - 4ac
.

Prendi in esame, invece, il secondo caso in cui l'asse della tua parabola è parallelo all'asse x.
In questo caso, in modo simile al primo, l'equazione generica della parabola sarà:

x = ay² + by + c

Di conseguenza, per trovare le coordinate del vertice dovrai seguire la formula:

V = (- Δ/4a, -b/2a)

Anche in questo caso, il valore di Δ sarà uguale alla seguente formula:

Δ = b² - 4ac
.

Per fare un po' di pratica, ecco un piccolo esercizio di esempio che potrai consultare per mettere in pratica quanto appreso fino ad ora, con qualche piccolo calcolo numerico.
Considera una parabola di equazione:

y = 3x² + 5x + 2

Calcola adesso il vertice della parabola.

Nell'equazione considerata, avrai:

a = 3
b = 5
c = 2

Ricorda la formula:

V = (-b/2a, - Δ/4a)

Quindi il vertice sarà dato dalle coordinate:

V = (-5/6, -Δ/12)

Calcola il valore di Δ con la semplice formula appresa precedentemente:

Δ = b² - 4ac

Dunque il valore di Δ sarà uguale a 5² - (4 x 3 x 2) = 25 - 24 = 1

Ecco che finalmente potrai calcolare il valore delle due coordinate del vertice della tua parabola:

V = (-5/6, -1/12)
.

In alcuni casi, il calcolo del vertice della parabola può risultare più semplice. Per esempio, se ti capita di dover trovare le coordinate del vertice di una parabola con equazione del tipo:

y = 2x² - 3

non essendoci il coefficiente b, la parabola avrà il vertice che giace sull'asse y, che corrisponderà all'asse della parabola. Infatti, calcolando il vertice, esso risulterà:

V = (0, -24)
.

Se il quadratico è scritto nella forma y = a (x - h) 2 + k, allora il vertice è il punto (h, k). La parte quadrata è sempre positiva (per una parabola sul lato destro), a meno che non sia zero. Il minimo possibile è: y = k; questo valore minimo si verifica quando la parte quadrata, x - h, è uguale a zero e la parte quadrata è zero quando x - h = 0, o quando x = h. Lo stesso ragionamento funziona, con k che è il valore più grande e la parte quadrata che sottrae sempre da esso, per le parabole capovolte. Poiché il vertice è un punto utile e dal momento che puoi "leggere" le coordinate per il vertice dalla forma del quadratico, puoi vedere dove la forma del vertice può essere utile, specialmente se il vertice non è uno dei tuoi valori T-chart. Tuttavia, i quadratici di solito non sono scritti in forma di vertice.

Puoi completare il quadrato per convertire ax 2 + bx + c alla forma del vertice, ma, per trovare il vertice, è più semplice usare solo una formula (la formula del vertice deriva dal processo di completamento del quadrato, proprio come la Formula quadratica, ma in ogni caso la memorizzazione è probabilmente più semplice del completamento del quadrato). Per una data quadratica y = ax 2 + bx + c, il vertice (h, k) viene trovato calcolando h = - b / 2 a, e quindi valutando y in h per trovare k. Se hai già imparato la formula quadratica, potresti trovare facile memorizzare la formula per k, poiché è correlata sia alla formula per he il discriminante nella formula quadratica: k = (4 ac - b 2) / 4 a .

• Nota: la " a " nella forma del vertice " y = a ( x - h ) 2 + k " del quadratico è la stessa di " a " nella forma comune dell'equazione quadratica, " y = ax 2 + bx + c ".

• Vertice della parabola
• Equazione e formule della parabola

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