Come trovare l'asse centrale di un sistema di vettori applicati

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tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In questa guida pratica e veloce, abbiamo pensato di imparare insieme come poter trovare l'asse centrale di un sistema di vettori applicati. Cercheremo di eseguire il tutto in maniera molto chiara ed anche semplice, in modo che anche i lettori che sono meno esperti in questo genere di argomento, possano essere in grado di mettere in pratica il tutto.Numerose grandezze fisiche sono descritte da vettori (spostamento, velocità, forza, campo elettrico, ecc.). Per alcune di esse e, in particolare, per le forze, è necessario tuttavia precisare, oltre a direzione, verso e modulo, anche il punto di applicazione. L’effetto di una forza su di un corpo deformabile può infatti variare notevolmente al variare del punto di applicazione. L'asse centrale di un insieme di vettori applicati è il luogo di punti che verificano la condizione che il momento risultante rispetto uno qualsiasi di questi punti è parallelo al vettore risultante dei vettori applicati. Volete quindi procedere nel capire come fare per trovarla, ma non ci capite proprio niente? Niente paura, questa guida fa certamente al caso vostro! Infatti, con pochi e semplici passaggi, vi spiegherò, nella maniera più chiara e comprensibile possibile, come trovare correttamente l'asse centrale di un sistema di vettori applicati.

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L’asse centrale è dunque il luogo descritto dall'equazione n (Q) = 0. Utilizzando la formula di trasposizione dei momenti, quest’ultima equazione assume la forma: n (Q) = m (Q) −p = [m (O) + r × (Q − O)]−p = n (O)+r ×(Q − O) = 0, per cui i punti cercati devono soddisfare l’equazione r × (Q − O) = −n (O). Ricordandovi assolutamente che un’equazione del tipo a × x = b, con a, b ∈ V, a · b = 0, a $= 0, b $= 0, ha come soluzioni x = b × a|a|2 + µa, µ ∈ IR, si ha (Q − O) = r × n (O)|r|2 + µr, µ ∈ IR .

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L’equazione precedente descrive, al variare del parametro reale µ, i punti di una retta parallela ad r e passante per il punto O = O + r × n (O)|r|2 = O + r × m (O)|r|2. Osservate adesso che per tutti i punti Q appartenenti all'asse centrale si ham (Q) =p e, pertanto,|m (Q)| = |p| < %|p|2 + |n (O)|2 = |m (O)|, dove O è un generico punto non appartenente all'asse centrale. In altri termini, l’asse centrale è l’insieme dei punti di E rispetto ai quali è minimo il modulo del momento risultante. Per tali punti m (Q) = p.

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Arrivati a questo punto considerate un punto Q appartenente all'asse centrale. Il momento risultante rispetto ad un generico polo O è dato dam (O) = m (Q) + r × (O − Q) = p + r × (O − Q), dove r×(O − Q) = n (O) è semplicemente la componente perpendicolare. Alla luce di quanto visto, per studiare il campo del vettore momento è alquanto sufficiente che voi rappresentiate questa legge per tutti i punti appartenenti ad un generico piano perpendicolare ad r. Il campo sarà certamente lo stesso su tutti i piani a quest’ultimo paralleli. Non mi resta che augurarvi di aver capito ogni singolo passaggio di questa guida!

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Eseguire questo genere di operazione è semplice, ma occorre avere delle informazioni di base che siano abbastanza ferrate.
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