Come trovare l'asse centrale di un sistema di vettori applicati

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Nella fisica applicata alla realtà la base della conoscenza sono ovviamente i tanti temuti vettori. Questi non sono altri che "frecce" immaginarie che l'uomo utilizza come base per poter orientare gli oggetti, le forze e le energie nello spazio o in due dimensioni. Essi sono composti dalla lunghezza, dalla direzione e dal verso ed coppia di queste tre rappresenta un vettore unico. Essi sono considerati complicati non tanto per la rappresentazione degli stessi, che sulla carta risultano molto semplici, quanto per il calcolo effettivo delle proprie componenti, come ad esempio la lunghezza. Questo perché non essendo reali è difficile anche poter fare delle stime sugli stessi a priori e si deve per forza di cose calcolarli analiticamente. Inoltre, come per l'algebra, vi sono definiti dei prodotti e delle somme specifici per ogni componente. Tuttavia uno dei problemi principali che si incontra nel caso di tanti vettori posizionati nello spazio è il cercare l'asse centrale del sistema di vettori. L'asse è in sostanza il punto di riferimento di tutto il sistema per cui è molto importante conoscerlo. Poniamo quindi un rapido esempio pratico per cui quest'asse risulta fondamentale: per le forze, è necessario precisare, oltre a direzione, verso e modulo, anche il punto di applicazione. L?effetto di una forza su di un corpo deformabile può infatti variare notevolmente al variare del punto di applicazione. Questo perché un corpo deformabile non ha medesima densità ovunque, e di conseguenza, cambiando punto di applicazione, per modificare quella data area, servirà più o meno forza rispetto ad un'altra area, magari più grande o più piccola. L'asse centrale di un insieme di vettori applicati è il luogo di punti che verificano la condizione che il momento risultante rispetto uno qualsiasi di questi punti è parallelo al vettore risultante dei vettori applicati. Detto cosi risulta essere molto macchinoso e complicato, in quanto ovviamente si concatenano definizioni che poi, attraverso i calcoli matematici risulteranno semplici formule. Ecco quindi come trovare l'asse centrale di un sistema di vettori applicati.

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Occorrente

  • Calcolatrice
  • Carta
  • Penna
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L'equazione dell'asse centrale

L?asse centrale è dunque il luogo geometrico descritto dall'equazione n (Q) = 0. Sostituendo in questa equazione la formula di trasposizione dei momenti otteniamo la seguente formulazione:
n (Q) = m (Q) ?p = [m (O) + r × (Q ? O)]?p = n (O)+r ×(Q ? O) = 0,
per cui i punti cercati, e cioè quelli che ci servono per descrivere l'asse, devono soddisfare l?equazione r × (Q ? O) = ?n (O).
È bene inoltre ricorsarsi che un?equazione del tipo a * x = b, con a, b ? V, a · b = 0, a $= 0, b $= 0, ha come soluzioni x = b × a|a|2 + µa, µ ? IR, si ha (Q ? O) = r × n (O)|r|2 + µr, µ ? IR. Esse sono uniche e non vi è margine di errore.

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Il centro dell'asse centrale

L?equazione precedente descrive, al variare del parametro reale µ, i punti di una retta parallela ad r e passante per il punto O = O + r × n (O)|r|2 = O + r × m (O)|r|2. Osservate adesso che per tutti i punti Q appartenenti all'asse centrale si ha che (Q) =p e, pertanto otteniamo |m (Q)| = |p|

Continua la lettura
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I punti dell'asse centrale

Arrivati a questo punto considerate un punto Q appartenente all'asse centrale. Il momento risultante rispetto ad un generico polo O è dato da (O) = m (Q) + r × (O ? Q) = p + r × (O ? Q), dove r×(O ? Q) = n (O) è semplicemente la componente perpendicolare. Alla luce di quanto visto, per studiare il campo del vettore momento è alquanto sufficiente rappresentare questa legge per tutti i punti appartenenti ad un generico piano perpendicolare ad r. Il campo sarà certamente lo stesso su tutti i piani a quest?ultimo paralleli. Queste in generale sono tutte le formule necessarie al calcolo dell'asse centrale e a tutte le sue componenti che spesso servono per studiare i vettori.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Eseguire questo genere di operazione è semplice, ma occorre avere delle informazioni di base che siano abbastanza ferrate.
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