Come trovare l'asintoto verticale di una funzione f(x)?

Tramite: O2O 19/10/2018
Difficoltà: facile
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Introduzione

L'analisi è la branca della matematica che studia le funzioni in base alle loro proprietà e caratteristiche. Quando ci troviamo di fronte ad una formula del tipo y=f(x) spesso non abbiamo la minima idea del suo effettivo comportamento, e dobbiamo per forza ricorrere alla stesura di un grafico per riuscire a capirla. Alcune funzioni possono essere facilmente riconosciute e disegnate, altre, invece hanno forme più infide e complesse e si devono studiare in vari punti in modo tale da scoprirne l'effettivo andamento. Nel caso di funzioni algebriche ci vengono incontro metodi piuttosto semplice per disegnare solo le parti più interessanti, riducendo le altre ai così detti comportamenti asintotici. In sostanza si "sostituisce" una retta alla funzione in punti particolari, senza andarla disegnare accuratamente, perché in parole povere l'errore commesso è tollerabile, troveremo quindi asintoti orizzontali, verticali ed obliqui, che possono essere stimate a partire dalla costruzione della funzione. Con questa guida andremo quindi a vedere come calcolare il solo asintoto verticale, la cui conoscenza in alcuni casi è determinante.

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Occorrente

  • conoscenza dei limiti delle funzioni
  • Carta a quadretti
  • Matita
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Che cosa sono gli asintoti

Partiamo subito dandovi la definizione di "asintoto". Non vi dovrete preoccupare se vi potrà sembrare difficile, perché in seguito il linguaggio sarà molto meno specifico e quindi risulterà comprensibile facilmente. In greco la parola "asintoto" significa "senza contatto". È un concetto che riportato nel calcolo definisce in maniera univoca una retta verso la quale la funzione si avvicina quando viene osservata in punti particolari del suo dominio. Da tale definizione potrete ricavare tre tipi di asintoti. In seguito, andremo a spiegarvi gli asintoti verticali, che sono anche quelli che sono molto usati nel campo della matematica pura, ed anche in alcune applicazioni reali. A fianco di tali asintoti ne troviamo anche di orizzontali ed obliqui. In sostanza un asintoto è una retta a cui la funzione "somiglia" in un dato intervallo di valori, senza però sovrapporvisi mai. In sostanza la funzione e l'asintoto sono quasi uguali ma non si toccano e non si incrociano.

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Asintoti verticali

Si parla di asintoto verticale quando la funzione in corrispondenza di un certo punto dell'asse x assume un valore indeterminato. Potrete trovare tale asintoto quando studiate il comportamento di una funzione in un intorno di un punto proibito, ossia cui la funzione non è definita. L'asintoto verticale, graficamente, è perciò una retta parallela all'asse "y" situata nel punto in cui la funzione diventa indeterminata. Il caso tipico in cui si può sospettare la presenza di un asintoto verticale è quello in cui in una funzione fratta in denominatore presenti una o più radici non eliminabili, ossia dei valori della "x" in corrispondenza dei quali il denominatore si annulla. Se la funzione presenta le stesse radici al numeratore, invece, si deve procedere ad una stima dell'eliminabilità con uno sviluppo matematico piuttosto articolato. In corrispondenza di questi punti di annullamento del denominatore la funzione potrebbe perdere di senso. Andando ad osservare i punti a destra e a sinistra del valore proibito, troveremo che la funzione assume dei valori reali, ed in molti casi questi valori seguono una tendenza ben precisa man mano che ci si accosta alla retta asintotica. In generale le funzioni ordinarie possono tendere a valori positivi o negativi molto grandi in prossimità dell'asintoto, e spesso si parla di infiniti positivi e negativi anche se è un notazione un po' impropria. In parole povere, si ha un asintoto verticale nel momento in cui non esiste un valore che limita la funzione se ci si avvicina indefinitamente al punto di discontinuità.

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Stima dell'asintoto

Infine andremo e vedere come trovare l'asintoto verticale. Prima di tutto occorrerà trovare il punto dove la f (x) non è definita, per tale cosa viene fatto il calcolo del dominio della funzione. Una volta che avrete trovato questo valore, che andremo a chiamare "n", si passerà a fare il limite di f (x). Quindi "x" tenderà verso "n". Se il risultato del limite sarà più infinito oppure meno infinito, allora la funzione avrà un asintoto verticale con equazione "x=n". Mentre nel caso dove il limite ha come risultato un numero positivo qualsiasi come ad esempio "5", oppure anche se è nullo, o negativo, come "-12", la funzione non presenterà asintoti verticali. Ricordate che si deve calcolare il limite destro e sinistro per x->n, perché la funzione può tendere asintoticamente in maniera differente alla destra e alla sinistra del punto. Per il calcolo può essere sufficiente anche una stima del diagramma dei segni della funzione. Ricordate però che in alcuni casi la presenza di radici al denominatore non eliminabili non da origine ad asintoti verticali, e si deve procedere con il teorema de l'Hôpital. Anche se inizialmente lo studio di una funzione potrebbe rivelarsi piuttosto difficile e complesso come argomento, con un po' di pazienza e seguendo le indicazioni di questa guida sarà possibile imparare l'argomento abbastanza velocemente, grazie anche alla pratica e all'esercizio costante. Vi auguro quindi buono studio.
A presto.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ti consiglio di avere ben chiari i limiti prima di imbarcarti negli studi delle funzioni.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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