Come trovare la tangente comune a due circonferenze

In questa articolo vogliamo aiutare tutti i nostri carissimi lettori, che sono amanti della matematica o che devono studiarla a scuola o all'università, per interrogazioni o esami, una articolo mediante il quale essere in grado di capire ed imparare come poter trovare la tangente che è comune a due circonferenze. Tra i problemi geometrici più comuni, c'è quello relativo alle rette e alle circonferenze. In particolare, il problema di trovare la tangente comune a due circonferenze può sembrare in prima analisi uno dei più ostici da affrontare. In questa guida vedremo come farlo in maniera semplice ed esaustiva. Prima però, è necessario chiarire gli aspetti peculiari di una circonferenza e di una retta tangente.

• conoscenze di base

In geometria si definisce circonferenza un luogo geometrico formato da un'insieme di punti equidistanti dal punto fisso detto centro. La distanza tra ciascun punto e il centro prende il nome di raggio (r) e la lunghezza della circonferenza presenta la seguente formula:
Crf = 2 * pi greco * r
In un sistema di assi cartesiani Oxy una circonferenza di centro (x1, y1) e raggio r è descritta matematicamente dall'equazione:
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = r^2
che assume la forma canonica:
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0
in cui:
a = -2*x1
b = -2*y1
c = x1^2 + y1^2 - r^2
da cui si può ricavare facilmente il raggio r tramite formula inversa (è importante perché ci servirà successivamente).
È ovvio che se la circonferenza presenta il centro nell'origine (0,0) l'equazione diventa:
x^2 + y^2 = r^2.

Vediamo adesso le caratteristiche di una retta. La retta è un insieme infinito di punti che non ha quindi nè inizio nè fine. Nel piano cartesiano essa è descritta attraverso la seguente equazione lineare:
ax + by + c = 0
in cui a, b e c sono dei numeri reali fissati con a e b che non possono essere contemporaneamente nulli. La retta tangente ad una circonferenza è una retta che ha un solo punto in comune con la circonferenza.

Adesso che abbiamo acquisito le basi per affrontare il problema vediamo come risolverlo.
Consideriamo le equazioni delle due circonferenze e calcoliamo i rispettivi centri C1 e C2 e i rispettivi raggi r1 e r2, sfruttando le equazioni viste nel passo1. Utilizziamo l'equazione della retta in forma esplicita:
y=mx+q
Imponiamo che tale retta disti r1 da C1 e r2 da C2. Adesso dobbiamo ricordare la formula per il calcolo della distanza di un punto da una retta in forma esplicita. Infine, basta scrivere il sistema formato da due equazioni del tipo:

d (P, r) = |yp - (mxp + q)| / (1+m^2)^1/2

Nella prima equazione d (P, r) dovrà essere pari a r1, yp a y1 e xp a x1 (coordinate del centro C1).
Nella seconda d (P, r) dovrà essere pari a r2, yp a y2 e xp a x2 (coordinate del centro C2). Una volta completato il sistema potremo risolverlo e trovare le rette tangenti cercate.

• Ripassare i concetti di base di rette e circonferenze.

• http://aulascienze.scuola.zanichelli.it/esperto-matematica/2010/12/09/tangenti-comuni-a-due-circonferenze/

• Come trovare le rette tangenti ad una circonferenza in geometria analitica (metodo del delta)
• Come determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti