Come trovare la tangente comune a due circonferenze

Tramite: O2O 26/04/2021
Difficoltà: media
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Introduzione

Nella geometria, uno dei calcoli più frequenti e diffusi è quello relativo alla misurazione delle varie circonferenze. Queste hanno proprietà e caratteristiche peculiari che le differenziano in maniera netta da tutte le altre figure geometriche. In particolare, nasce spesso l'esigenza di calcolare la tangente comune a due circonferenze date e delle quali si conoscono le misure. In questa guida vogliamo dunque illustrarvi come trovare la tangente comune a due circonferenze. Prima però, è necessario chiarire gli aspetti peculiari di una circonferenza e di una retta tangente. Vediamo come occorre procedere.

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Occorrente

  • Manuale di geometria scuole medie o superiori
  • Manuale di algebra
  • Calcolatrice
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Adottare la formula della circonferenza

In geometria si definisce circonferenza un luogo geometrico formato da un insieme di punti equidistanti dal punto fisso, detto centro. La distanza tra ciascun punto e il centro, prende il nome di raggio (r). Va detto che la lunghezza della circonferenza, presenta la seguente formula: Crf = 2 * pi greco * r. In un sistema di assi cartesiani Oxy, una circonferenza di centro (x1, y1) e raggio r, è descritta matematicamente dall'equazione: (x - x1)^2 + (y - y1)^2 = r^2, la quale assume la forma canonica: x^2 + y^2 + ax + by + c = 0. In tale equazione, dunque, a = -2*x1, b = -2*y1 e c = x1^2 + y1^2 - r^2. Date siffatte premesse, possiamo ricavare il raggio di tale circonferenza. Il calcolo è possibile tramite formula inversa (questo, è un aspetto importante, perché ci servirà successivamente). È ovvio che se la circonferenza presenta il centro nell'origine (0,0) l'equazione diventa: x^2 + y^2 = r^2.

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Analizzare le caratteristiche della retta geometrica

Andiamo poi ad esaminare le caratteristiche di una retta. Dal punto di vista della sua definizione, una retta è un insieme infinito di punti che non ha quindi nè inizio nè fine. Nel piano cartesiano essa è descritta attraverso la seguente equazione lineare: ax + by + c = 0. All'interno di tale equazione, gli elementi contraddistinti da a, b e c, sono dei numeri reali, i quali non possono essere contemporaneamente nulli. La retta tangente ad una circonferenza è una retta che ha un solo punto in comune con la circonferenza. Queste rappresentano dunque le basi dalle quali partire per effettuare una corretta misurazione di una tangente comune a due circonferenze. Vediamo come procedere.

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Calcolare la tangente comune alle due circonferenze

Adesso che abbiamo dunque acquisito le basi per affrontare il problema, vediamo come risolverlo. Consideriamo le equazioni delle due circonferenze e calcoliamo i rispettivi centri C1 e C2 e i rispettivi raggi r1 e r2, sfruttando le equazioni descritte nel passo 1. Procediamo dunque utilizzando l'equazione della retta in forma esplicita: y=mx+q. Imponiamo che tale retta disti r1 da C1 e r2 da C2. Adesso dobbiamo ricordare la formula per il calcolo della distanza di un punto da una retta in forma esplicita. Dunque, basterà scrivere il sistema formato da due equazioni del tipo: d (P, r) = |yp - (mxp + q)| / (1+m^2)^1/2. Nella prima equazione d (P, r) dovrà essere pari a r1, yp a y1 e xp a x1 (coordinate del centro C1). Nella seconda d (P, r) dovrà essere pari a r2, yp a y2 e xp a x2 (coordinate del centro C2). Una volta completato il sistema, potremo risolverlo e trovare le rette tangenti cercate.

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Partire da una prospettiva esclusivamente geometrica

Va comunque sottolineato in conclusione che, affrontare il problema delle tangenti comuni a due circonferenze in modo puramente algebrico, è sempre un po? complesso: data l?equazione generale di una retta in forma implicita, infatti, sarebbe sempre necessario mettere a sistema le equazioni ottenute, imponendo alla retta di avere, dal centro di ciascuna, delle circonferenze che misurino esattamente quanto l'ampiezza del loro raggio. Ecco perché è sempre opportuno invece ragionare partendo da una prospettiva esclusivamente di tipo geometrico, operando nei limiti della situazione specifica che si deve discutere. Approccio, quest'ultimo, che abbiamo appunto deciso di seguire in questa nostra guida.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • E' sempre bene ripassare i concetti base di retta e circonferenza, prima di cimentarsi nel calcolo di una tangente comune a due circonferenze
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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