Come trovare la tangente comune a due circonferenze

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa articolo vogliamo aiutare tutti i nostri carissimi lettori, che sono amanti della matematica o che devono studiarla a scuola o all'università, per interrogazioni o esami, una articolo mediante il quale essere in grado di capire ed imparare come poter trovare la tangente che è comune a due circonferenze. Tra i problemi geometrici più comuni, c'è quello relativo alle rette e alle circonferenze. In particolare, il problema di trovare la tangente comune a due circonferenze può sembrare in prima analisi uno dei più ostici da affrontare. In questa guida vedremo come farlo in maniera semplice ed esaustiva. Prima però, è necessario chiarire gli aspetti peculiari di una circonferenza e di una retta tangente.

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Occorrente

  • conoscenze di base
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In geometria si definisce circonferenza un luogo geometrico formato da un'insieme di punti equidistanti dal punto fisso detto centro. La distanza tra ciascun punto e il centro prende il nome di raggio (r) e la lunghezza della circonferenza presenta la seguente formula:
Crf = 2 * pi greco * r
In un sistema di assi cartesiani Oxy una circonferenza di centro (x1, y1) e raggio r è descritta matematicamente dall'equazione:
(x - x1)^2 + (y - y1)^2 = r^2
che assume la forma canonica:
x^2 + y^2 + ax + by + c = 0
in cui:
a = -2*x1
b = -2*y1
c = x1^2 + y1^2 - r^2
da cui si può ricavare facilmente il raggio r tramite formula inversa (è importante perché ci servirà successivamente).
È ovvio che se la circonferenza presenta il centro nell'origine (0,0) l'equazione diventa:
x^2 + y^2 = r^2.

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Vediamo adesso le caratteristiche di una retta. La retta è un insieme infinito di punti che non ha quindi nè inizio nè fine. Nel piano cartesiano essa è descritta attraverso la seguente equazione lineare:
ax + by + c = 0
in cui a, b e c sono dei numeri reali fissati con a e b che non possono essere contemporaneamente nulli. La retta tangente ad una circonferenza è una retta che ha un solo punto in comune con la circonferenza.

Continua la lettura
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Adesso che abbiamo acquisito le basi per affrontare il problema vediamo come risolverlo.
Consideriamo le equazioni delle due circonferenze e calcoliamo i rispettivi centri C1 e C2 e i rispettivi raggi r1 e r2, sfruttando le equazioni viste nel passo1. Utilizziamo l'equazione della retta in forma esplicita:
y=mx+q
Imponiamo che tale retta disti r1 da C1 e r2 da C2. Adesso dobbiamo ricordare la formula per il calcolo della distanza di un punto da una retta in forma esplicita. Infine, basta scrivere il sistema formato da due equazioni del tipo:

d (P, r) = |yp - (mxp + q)| / (1+m^2)^1/2

Nella prima equazione d (P, r) dovrà essere pari a r1, yp a y1 e xp a x1 (coordinate del centro C1).
Nella seconda d (P, r) dovrà essere pari a r2, yp a y2 e xp a x2 (coordinate del centro C2). Una volta completato il sistema potremo risolverlo e trovare le rette tangenti cercate.

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