Come trovare la retta tangente a un'ellisse

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica, l'ellisse è il luogo dei punti equidistanti da due punti detti fuochi. Tale definizione è fondamentale per molteplici scopi. Specialmente in analisi matematica è utile per determinare alcuni elementi importanti per lo studio di funzione. Tra questi c'è la retta tangente ed eventuali intersezioni. Con questa guida andremo a vedere come trovare analiticamente la retta tangente ad un'ellisse. La retta tangente è tale che incontra l'ellisse in un solo ed unico punto, detto proprio punto di tangenza.

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Risolvere il sistema risolvente

Partiamo dal presupposto che il punto di tangenza deve appartenere necessariamente all'ellisse per far sì che la retta sia proprio quella tangente. Dunque consideriamo un punto (x, y) appartenente alla frontiera dell'ellisse, ovvero l'insieme di punti che costituiscono il bordo dell'ellisse. Successivamente scriviamo l'equazione generale della retta tangente all'ellisse, definita come (y1-y)=m (x1-x), dove x e y sono proprio le coordinate del punto dato. La formula generale di un'ellisse è (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1. A questo punto l'unica incognita è m, ossia il coefficiente angolare della retta tangente, che esprime l'inclinazione della retta rispetto ad un piano cartesiano xy. Per trovare il valore di m, bisogna scrivere il sistema con le due equazioni e verificare che la soluzione sia unica poiché il punto di tangenza è uno soltanto. Una volta ricavato m, basta sostituirlo all'equazione generale della retta e abbiamo trovato la retta tangente all'ellisse data passante per uno specifico punto dell'ellisse.

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Utilizzare la formula di sdoppiamento

Un metodo decisamente più rapido del precedente richiede l'uso della formula di sdoppiamento. Tale regola afferma che la retta tangente ad un'ellisse è data dalla formula (xx1/a^2)/(yy1/b^2)=1, dove x e y sono le coordinate del punto di tangenza. In questo caso si va a trovare un'equazione particolare dell'ellisse, passante proprio per l'origine. Non sempre però può capitare un caso del genere.

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Calcolare il coefficiente angolare della retta

Dopo aver scritto il sistema risolvente con l'equazione della retta e dell'ellisse, è il momento di effettuare direttamente i calcoli matematici per poter ricavare il valore di m. In questo caso è possibile risolvere il sistema in modo molto semplice. Ricaviamo dall'equazione dell'ellisse il valore di x e y e poi sostituiamo tali valori all'equazione della retta, trovando proprio il valore di m desiderato. Dopo aver trovato il valore di m è possibile anche disegnare direttamente il grafico dell'ellisse e della retta tangente.

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