Come trovare l'ipotenusa del teorema di Euclide

La geometria analitica è un muro su cui spesso, sopratutto nell’età delle scuole medie e superiori, ci si imbatte rischiando di scontrarsi, e la risoluzione dei triangoli rettangoli ne è un esempio. Quando si parla di geometria la prima cosa che bisogna avere ben chiara è che non è una materia che si studia a memoria, bensì e una materia che presuppone la nostra lucidità mentale e quindi il ragionamento. Questa materia, così come tante altre fondate su basi scientifiche, è necessario capirla fino in fondo, passo dopo passo e, cosa importantissima, fare molti esercizi, in maniera tale da allenare la nostra mente al ragionamento e al calcolo.
Partiamo dalla domanda iniziale: "Come trovare l'ipotenusa dal teorema di Euclide". È semplicissimo, partendo dalle nozioni fondamentali vediamo com'è semplice venire a capo di un problema come questo!

Si definisce “triangolo rettangolo” una figura chiusa composta da tre lati e tre angoli ottusi. Il maggiore di questi è pari a 90° (in radianti π/2), il lato maggiore opposto all’angolo retto prende il nome di ipotenusa, mentre gli altri due si chiamano cateti. I teoremi di Euclide, proprio come quello di Pitagora, ci vengono incontro per la risoluzione dei triangoli rettangoli, ossia la determinazione delle misure dei lati.

Primo teorema di Euclide: ”dato un triangolo rettangolo possiamo costruire un quadrato su un cateto e l’area di tale quadrato sarà equivalente ad un altro rettangolo di lati pari alla lunghezza dell’ipotenusa e alla proiezione del cateto su quest’ultima”. Partendo dalla prima figura tracciamo l’altezza di B sull’ipotenusa e individuiamo un punto che chiamiamo P, in questo modo il lato AC viene diviso in due segmenti che possiamo chiamare AP e PC. Sul lato AB disegniamo un quadrato avente lunghezza dei lati pari a quello su cui stiamo operando. Sul lato AC disegniamo un rettangolo che ha la base pari ad AP e l’altezza pari alla lunghezza dell’ipotenusa. A questo punto possiamo affermare che il quadrato e il rettangolo disegnati uno su un cateto e l’altro sull’ipotenusa hanno la stessa area. La proporzione a cui dobbiamo fare riferimento sarà data da:
AC: AB = AB: AP
Quindi per trovare l’ipotenusa:
AC= AB2/AP.

Secondo teorema di Euclide: “dato un triangolo rettangolo possiamo costruire un quadrato su un cateto e l’area di tale quadrato sarà uguale a quella di un rettangolo costruito sull’ipotenusa che ha per lati le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stessa”. Come prima tracciamo l’altezza di B sull’ipotenusa e individuiamo un punto che chiamiamo P, in questo modo il lato AC viene diviso in due segmenti che possiamo chiamare AP e PC e sul lato AB disegniamo un quadrato avente lunghezza dei lati pari a quello su cui stiamo operando. Ora proiettiamo i due cateti sull’ipotenusa e formiamo un rettangolo di lati PF ed FG. Il quadrato e il rettangolo costruiti avranno anche in questo caso la stessa area. La proporzione a cui dobbiamo fare riferimento sarà data da:
AP: BP = BP: PC Ovvero:
PC= BP2/AP e AP= BP2/PC
A questo punto partendo sempre dalle proporzioni generiche abbiamo tutte le conoscenze necessarie e sufficienti per poter risolvere qualsiasi triangolo rettangolo. Buon lavoro!

• Non fare affidamento sulla memoria, lo strumento migliore è sempre il ragionamento! Disegnare sempre la figura che si sta studiando.