Come trovare l'intersezione di due parabole

La geometria è una materia piuttosto complessa, ma che si rivela particolarmente utile quando intendiamo trovare ad esempio i punti di intersezione tra due parabole. Lo scopo, una volta raggiunto, ci consente di individuare anche la retta passante per i punti stessi chiamata in gergo asse radicale. Questo esercizio tra l'altro si rivela interessante poiché contiene un insieme di nozioni matematiche. In riferimento a quanto sin qui accennato, ecco una guida con le istruzioni su come procedere per raggiungere l'obiettivo prefissato.

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Supponendo dia vere due parabole ossia la prima del tipo y=ax^2+bx+c e la seconda y'=a'x^2+b'x+c' per trovare i punti di intersezione dobbiamo risolvere il sistema delle due equazioni fino a trovare una soluzione in funzione di y. Il risultato ci permette di impostare una retta y=ax+b denominata come asse radicale delle due parabole. Le coordinate tra l'altro se analizzate nel giusto ordine ossia prima x e poi y ci forniranno la posizione sul grafico del punto trovato rispetto all'ascissa e all'ordinata. Per fare un esempio in merito: x=2 y=4 e con x=3 y= 6 avremo il punto A (2;4) e il punto B (3;6) e non il contrario. Ovviamente per trovare i punti di intersezione, a seconda del valore di x trovato (nessuno, un valore, due valori) corrisponderanno altrettanti valori di y.

A seconda del coefficiente "a" in relazione ad "a' " possiamo verificare 3 casi di intersezione ossia nel primo quello dell'asse radicale secante alle due parabole (cioè le due parabole hanno 2 punti in comune, nel secondo l'asse radicale esterno (le due parabole non si intersecano), mentre nel terzo il caso di intersezione riguarda l'asse radicale tangente (anche la parabole risulteranno tangenti e si incontreranno in un unico punto).

Per risolvere il sistema a due incognite dobbiamo esprimerne una in funzione dell'altra come ad esempio x= y-3 oppure y=x+3 e sostituire poi il valore nell'incognita del sistema. Questo passaggio è tra l'altro fondamentale poiché ci consente di eliminare una delle due variabili (x o y) e quindi rendere tutto più semplice. Premesso ciò, continuiamo poi sommando i termini simili, ovvero tutti i numeri che contengono x o x al quadrato ecc e li portiamo al primo membro. In questo link vediamo un esempio svolto e annotato dal sito youmath:https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/3355-mi-potete-fare-questo-esercizio-sulla-parabola.html

Se a=a' le due parabole avranno lo stesso verso di concavità ed entrambe saranno rivolte verso il basso o verso l'alto, mentre il punto di intersezione tra le due risulterà uno soltanto. In seguito possiamo quindi avere oltre ad a=a' anche b=b' ed in questo caso però le parabole non si intersecano, e di conseguenza non esiste l'asse radicale poiché non ci sono punti attraverso il quale esso possa passare. Infine va detto che se il coefficiente della x di grado primo cioè b è diverso da b' le parabole si intersecano in un punto, e l'asse radicale tra le infinite rette passanti per il punto individuato che corrisponderà alla retta verticale.

A margine di questa guida va altresì aggiunto che se un determinato punto appartiene ad una parabola, per conoscerne il valore si sostituiscono le coordinate sia della x che della y nell'equazione da svolgere, in modo da ottenere la cosiddetta uguaglianza vera ossia che il punto appartiene alla parabola, oppure non affatto. Un ottimo modo per verificare graficamente quanto appena descritto è quello di disegnare su un foglio di carta millimetrata due assi cartesiani denominati rispettivamente X e Y.

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