Come trovare l'intersezione di due parabole

Con questa guida vediamo insieme come fare per trovare i punti di intersezione tra due parabole. Lo scopo, una volta raggiunto, ci consente di individuare la retta passante per i due punti di intersezione, chiamata anche asse radicale. Questo esercizio matematico è utile perché contiene più nozioni matematiche insieme.

• Le formule per la parabole

Abbiamo quindi le due parabole y=ax^2+bx+c e y'=a'x^2+b'x+c'. Per trovare i punti di intersezione dobbiamo risolvere il sistema delle due equazioni fino a trovare una soluzione in funzione di y. La soluzione trovata ha l'impostazione di una retta (y=ax+b) ed è definita come asse radicale delle due parabole. Le coordinate, nel giusto ordine -prima x poi y- forniranno la posizione sul grafico del punto trovato rispetto all'ascissa e all'ordinata. Esempio: x=2 y=4 e con x=3 y= 6 avremo il punto A (2;4) e il punto B (3;6) e non il contrario. Ovviamente per trovare i punti di intersezione, a seconda del valore di x trovato (nessuno, un valore, due valori) corrisponderanno altrettanti valori di y.

SUGGERIMENTI:
A seconda del coefficiente "a" in relazione ad "a' " possiamo avere 3 casi di intersezione:1) asse radicale secante alle due parabole (cioè le due parabole hanno 2 punti in comune) 2) asse radicale esterno (le due parabole non si intersecano 3) asse radicale tangente (anche la parabole risulteranno tangenti e si incontreranno in un unico punto)

Per risolvere il sistema a due incognite dobbiamo esprimere un'incognita in funzione dell'altra, ad esempio x= y-3 oppure y=x+3 e sostituire poi il valore nell'incognita del sistema. Questo passaggio è fondamentale per eliminare una variabile (x o y) e quindi rendere tutto più semplice. Continuiamo poi sommando i termini simili, ovvero tutti i numeri che contengono x o x al quadrato ecc e portiamo tutto al primo membro. Qui vediamo un esempio svolto preso da youmath:https://www.youmath.it/domande-a-risposte/view/3355-mi-potete-fare-questo-esercizio-sulla-parabola.html

Se a=a' le due parabole avranno lo stesso verso di concavità, entrambe le parabole saranno rivolte verso il basso o verso l'alto, e il punto di intersezione tra le due parabole è uno solo. In seguito possiamo avere, oltre ad a=a', anche b=b', in questo caso però le parabole non si intersecano e di conseguenza non esiste l'asse radicale perché non ci sono punti attraverso il quale esso possa passare. Se il coefficiente della x di grado primo, cioè b, è diverso da b' le parabole si intersecano in un punto e l'asse radicale, tra le infinite rette passanti per il punto individuato, sarà la retta verticale.

• Youmath

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