Come trovare l'intercetta nelle equazioni di secondo grado

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Le equazioni di secondo grado vengono espresse nella forma ax^2+bx+c=0, dove i coefficienti a, b e c sono diversi da 0. Detto questo, immaginiamo di dover rappresentare l'equazione in un grafico cartesiano bidimensionale, avremo quindi l'ascissa x e l'ordinata y come piano di riferimento.
In questa guida vi verrà illustrato come stabilire se il grafico dell'equazione incrocia questi due assi e trovare i punti di intersezione chiamati "intercetta"

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Porre la condizione y=0

Nel punto dove il grafico incontra l'ordinata, la coordinata dell'asse y equivale a zero.
Per prima cosa bisogna trasformare l'equazione nella forma esplicita, cioè:

ax^2 + by = c

Quindi, se y=0 la nostra equazione sarà

ax^2 + b (0) = c

o più semplicemente

ax^2 = c.

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Risoluzione dell'equazione con y=0

Risolviamo l'equazione ax^2 = c.
Dato che dobbiamo trovare il valore di x^2, portiamo il coefficiente "a" a sinistra del segno uguale:

x^2 = c/a

Quindi, per trovare il valore di x

x = √(c/a)

Bisogna ricordarsi che i valori ricavati dall'estrazione dalla radice quadrata sono 2, precisamente di segno opposto.

x = √(c/a) = ± n.

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Risoluzione tramite formula quadratica

In questo caso bisogna risolvere utilizzando la formula quadratica, cioè

x₁, ₂ = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a

Basta sostituire i coefficienti per determinare il valore o i valori di x.

I valori che troveremo, positivi o negativi che siano, saranno i punti sull'ascissa dove l'equazione incontra l'asse.

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Esempio

Proviamo a trovare l'intercetta della seguente equazione di secondo grado:

x^2+3x-10 = 0

Possiamo risolvere tramite fattorizzazione.
La formula illustrata in precedenza è

x₁, ₂ = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a

Quindi, sostituendo alle lettere a, b e c i coefficienti della nostra equazione, avremo

x₁, ₂ = [ -3 ± √(3² - 4(1 x (-10)) ] / (2 x 1)
x₁, ₂ = [ -3 ± √(9 - (-40)) ] / 2
x₁, ₂ = [ -3 ± √(9 + 40) ] / 2
x₁, ₂ = [ -3 ± √(49) ] / 2
x₁, ₂ = [ -3 ± 7 ] / 2

Arrivati a questo punto, come detto in precedenza, la formula quadratica ammette due soluzioni perché dobbiamo risolvere:

x₁ = (-3 + 7) / 2 = 4/2 = 2

x₂ = (-3 - 7) / 2 = (-10) / 2 = -5

Abbiamo quindi trovato due valori di x, vuol dire che la nostra equazione incontra per due volte l'asse delle ascisse, precisamente nei punti +2 e -5.

L'equazione viene rappresentata nel riferimento cartesiano sottoforma di parabola, simile ad una "U" o una "V". È possibile, per le equazioni di secondo grado, avere una o due intercette, ma anche nessuna.

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Conclusione

Ricapitolando, per determinare le intercette di un'equazione di secondo grado, basta applicare la formula quadratica vista in precedenza, sostituire al posto delle lettere a, b e c i coefficienti e risolvere. Il valore/ i valori trovati saranno i punti corrispondenti all'intersezione fra asse e parabola.

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