Come trovare l'incentro di un trapezio

Tramite: O2O 14/09/2018
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il trapezio è un poligono regolare costituito da quattro lati. Essendo un poligono regolare esso risulta essere sicuramente circoscrivibile, poiché risponde alle condizioni di circoscrittibilità, ovvero la somma delle misure dei lati che occupano posizioni opposte nel poligono risultano essere uguali (a + c = b + d) .
Nel caso del trapezio esso è circoscrivibile quando la somma della base maggiore e della base minore è pari alla somma dei due lati obliqui.
Inoltre un poligono è circoscrivibile quando tutti i suoi lati risultano essere tangenti alla circonferenza. Il rispetto dell'ipotesi di circoscrittibilità è fondamentale per la definizione di incentro, infatti, per un poligono regolare, l'incentro coincide proprio con il centro della suddetta circonferenza. Il raggio di tale circonferenza viene chiamato apotema e rappresenta proprio la distanza che ogni lato del trapezio possiede rispetto al centro.
Fatte le dovute premesse procediamo ora a illustrare la metodologia che ci insegnerà come trovare l'incentro di un trapezio:.

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Rappresentazione dell'incentro

L'incentro è definito anche come il punto di intersezione di tutte le bisettrici di un poligono. Essendo le bisettrici definite come il luogo dei punti equidistanti dai lati del poligono, anche l'incentro godrà di questa stessa proprietà. Per rappresentare correttamente l'incentro occorre dunque disegnare il trapezio oggetto del nostro studio e condurre le bisettrici a partire dai vertici dei quattro angoli.

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Scelta degli assi di riferimento

Una volta disegnato univocamente l'incentro possiamo rappresentare la circonferenza circoscritta al trapezio. Successivamente passiamo a posizionare uno dei vertici degli angoli acuti alla base del trapezio sull'origine degli assi di un sistema di riferimento cartesiano, in modo da individuare successivamente le coordinate dell'incentro.

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Calcolo delle coordinate dell'incentro del trapezio

Adesso congiungiamo l'incentro prima disegnato con l'origine degli assi e rappresentiamo il segmento congiungente l'incentro con la base maggiore del trapezio e perpendicolare a questa, si viene così a creare un triangolo rettangolo.Supposto che sia noto il raggio della circonferenza circoscritta al trapezio, possiamo dire di conoscere già uno dei cateti del triangolo, infatti questo coincide col raggio. Nel caso di trapezio isoscele l'altro cateto è metà della base maggiore del trapezio. Nel caso del trapezio rettangolo invece l'altro cateto può essere ricavato sottraendo alla somma della base maggiore e della base minore il valore del raggio della circonferenza.
Il valore dei cateti del rettangolo a questo punto ci fornisce le coordinate dell'incentro sul nostro sistema di riferimento individuandone così univocamente la posizione.

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