Come trovare l'equazione di una curva quando si hanno i punti

L'equazione della parabola è determinabile se fissiamo determinate condizioni. Possiamo avere tre punti oppure possiamo avere, oltre i due punti, le coordinate che definiscono un terzo punto e che quindi ci faranno individuare la nostra curva con precisione. L'equazione generica che definisce una parabola è y=ax²+bx+c. Cosa significa tutto ciò? Semplice, che quelle lettere a, b e c saranno i valori che dovremo trovare per poter definire in maniera univoca la nostra curva. In questo schema riassuntivo vedremo come trovare l'equazione di una curva conoscendo i punti.

• calcolatrice

Il primo step è scrivere l'equazione generale rispetto ai punti dati. Se ad esempio i nostri punti fossero M=(-4,15), N=(2,3), P=(1, -5) dovremo scrivere:

15=a˖(-4) ²+b˖(-4)+c che semplificando ci darà 15=16a-4b+c per il punto M

3=a˖2²+b˖2+c che semplificando ci darà 3=4a+2b+c per il punto N

-5=y=a˖1²+b˖1+c che semplificando ci darà -5= a+b+c per il punto P

I numeri tra parentesi sostituiscono i valori x ed y. Ciò vuole dire che, come ci mostra l'esempio, per N=(2,3), il 2 deve sostituire x mentre il 3 sostituisce il valore y.

Adesso che abbiamo stabilito le tre condizioni richieste, dobbiamo metterle a sistema e dobbiamo effettuare le dovute sostituzioni. Vediamo come:

15=16a-4b+c
3=4a+2b+c
-5= a+b+c

Ci rendiamo subito conto che tre sono le incognite, a, b e c e tre sono le equazioni.

Prendiamo una delle tre equazioni e risolviamola rispetto ad una incognita. Ad esempio, scegliendo la terza, possiamo ricavarci il valore di c:
-5= a+b+c diventerà c= -5-a-b

Adesso sappiamo che il nostro c è descritto da -5-a-b e lo possiamo sostituire. Ciò vuol dire che laddove avevamo c, nelle prime due equazioni, adesso scriveremo -5-a-b. Vediamolo:

15=16a-4b+c diventerà 15=16a-4b+(-5-a-b)

che, togliendo le parentesi, muterà in 15=15a-5b-5 e poi 20=15a-5b.

per la seconda equazione avremo che 3=4a+2b+c diventerà 8=3a+b

Quello che abbiamo fatto fino ad ora ci ha dato le seguenti informazioni: 20=15a-5b e 8=3a+b.

Prendiamone una a caso e facciamo lo stesso gioco di sostituzioni visto in precedenza. Ad esempio:
8=3a+b diventerà b= 8-3a.
Dal momento che sappiamo in che modo è descritta b, possiamo sostituire 8-3a nell'altra equazione:
20=15a-5b diventerà 20=15a-5(8-3a) poi 20=15a-40-15a e alla fine otterremo 60=30a che ci darà il valore di a=60/30 ossia a=2.

Arrivati a questo punto, possiamo sostituire il valore di 2 in b=8-3a e questa diventerà quindi b=8-3(2) poi b=8-6 e da ciò b=2.

Abbiamo appurato che a=2 e b=2. Cosa ci resta da fare? Ricordarci che nel primo passaggio avevamo ottenuto l'equazione per c ed ora, conoscendo i valori di a e b, possiamo effettuare le dovute sostituzioni per risolverla e trovarci il valore numerico che definisce c:
quindi, se c= -5-a-b, il primo step ci darà c=-5-2-2 e il secondo c= -9

Dato che l'equazione della parabola nella sua versione generica è y=ax²+bx+c comprendiamo subito che nel nostro caso, effettuando la sostituzione finale dei valori che abbiamo trovato, questa diventerà y=2x²+2x-9.