Come trovare l'equazione di una curva quando si hanno i punti

L'equazione della parabola è determinabile se fissiamo determinate condizioni. Possiamo avere tre punti oppure possiamo avere, oltre i due punti, le coordinate che definiscono un terzo punto e che quindi ci faranno individuare la nostra curva con precisione. L'equazione generica che definisce una parabola è y=ax²+bx+c. Cosa significa tutto ciò? Semplice, che quelle lettere a, b e c saranno i valori che dovremo trovare per poter definire in maniera univoca la nostra curva. In questa guida vi illustreremo come trovare con esattezza l'equazione di una curva conoscendo i punti. Vediamo come occorre procedere.

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Va innanzitutto precisato che tutte le curve della geometria greca sono curve "nominate". Ciò sta a significare che ognuna di queste si può definire e misurare con l'utilizzo di proprietà caratteristiche, che sono valide per quella curva e per nessun altra. Ogni curva, dunque, necessita di metodi ad hoc, che difficilmente possono trovare applicazione in altre situazioni, in quanto risultano riferibili esclusivamente alla sua particolare generazione. Data questa premessa, c'è da dire che un efficace e rapido metodo per trovare i punti di una curva consiste nel fissare il valore di una delle sue coordinate. Facciamo dunque l'esempio che x=1. In questo modo otterremo un'equazione F(1,y)=0, nella sola y. Risolvendo quest'ultima, si potranno calcolare uno o più valori di y, i quali individueranno uno o più punti della curva, esattamente in corrispondenza con l'ascissa x=1. Considerando quindi i valori diversi per la x, si otterranno vari punti della curva, che potrà dunque essere tracciata con la precisione e l'esattezza richiesta.

Il primo step è scrivere l'equazione generale rispetto ai punti dati. Andiamo dunque a rappresentare graficamente tale equazione. Se ad esempio i nostri punti fossero M=(-4,15), N=(2,3), P=(1, -5) dovremo scrivere: 15=a?(-4) ²+b?(-4)+c che semplificando ci darà 15=16a-4b+c per il punto M. Allora 3=a?2²+b?2+c che semplificando ci darà 3=4a+2b+c per il punto N. Così, analogamente -5=y=a?1²+b?1+c che semplificando ci darà -5= a+b+c per il punto P
I numeri tra parentesi sostituiscono i valori x ed y. Ciò vuole dire che, come ci mostra l'esempio, per N=(2,3), il 2 deve sostituire x mentre il 3 sostituisce il valore y.

Adesso che abbiamo stabilito le tre condizioni richieste, dobbiamo metterle a sistema e dobbiamo effettuare le dovute sostituzioni. Vediamo come:15=16a-4b+c, 3=4a+2b+c e -5= a+b+c. Ci rendiamo subito conto che tre sono le incognite, a, b e c e tre sono le equazioni. Prendiamo una delle tre equazioni e risolviamola rispetto ad una incognita. Ad esempio, scegliendo la terza, possiamo ricavarci il valore di c, che sarà: -5= a+b+c diventerà c= -5-a-b. Adesso sappiamo che il nostro c è descritto da -5-a-b e lo possiamo sostituire. Ciò vuol dire che laddove avevamo c, nelle prime due equazioni, adesso scriveremo -5-a-b. Vediamolo: 15=16a-4b+c diventerà 15=16a-4b+(-5-a-b) che, togliendo le parentesi, muterà in 15=15a-5b-5 e poi 20=15a-5b. Per la seconda equazione avremo che 3=4a+2b+c diventerà 8=3a+b. Quello che abbiamo fatto fino ad ora ci ha dato le seguenti informazioni: 20=15a-5b e 8=3a+b. Prendiamone una a caso e facciamo lo stesso gioco di sostituzioni visto in precedenza. Ad esempio:
8=3a+b diventerà b= 8-3a. Dal momento che sappiamo in che modo è descritta b, possiamo sostituire 8-3a nell'altra equazione: 20=15a-5b diventerà 20=15a-5(8-3a) poi 20=15a-40-15a e alla fine otterremo 60=30a che ci darà il valore di a=60/30 ossia a=2. Arrivati a questo punto, possiamo sostituire il valore di 2 in b=8-3a e questa diventerà quindi b=8-3(2) poi b=8-6 e da ciò b=2.

Abbiamo appurato che a=2 e b=2. Cosa ci resta da fare? Ricordarci che nel primo passaggio avevamo ottenuto l'equazione per c ed ora, conoscendo i valori di a e b, possiamo effettuare le dovute sostituzioni per risolverla e trovarci il valore numerico che definisce c: quindi, se c= -5-a-b, il primo step ci darà c=-5-2-2 e il secondo c= -9. Dato che l'equazione della parabola nella sua versione generica è y=ax²+bx+c comprendiamo subito che nel nostro caso, effettuando la sostituzione finale dei valori che abbiamo trovato, questa diventerà y=2x²+2x-9.

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