Come trovare l'area di un parallelogramma con i vertici

Trovare l'area di un qualsiasi parallelogramma è uno dei quesiti più frequenti in geometria. Il calcolo si complica un po' quando, di tale parallelogramma, sono conosciuti solamente i vertici. Ma niente paura: anche in questi casi, attraverso un calcolo veloce e l'applicazione di alcune formule, è possibile risalire facilmente alla misurazione dell'area. In questa guida vogliamo dunque illustrarvi come trovare l'area di un parallelogramma con i vertici. Vediamo come occorre procedere e quali passaggi è necessario seguire.

• Testo di geometria analitica
• Calcolatrice

Trovare il valore dell'area di un parallelogramma, avendo a disposizione, come unici dati, le coordinate dei vertici, sarà facile e veloce. Avvaliamoci di un esempio per meglio descrivere il problema. I vertici del parallelogramma, in questo problema di esempio, sono: A (2, -3), B (8, 2), C (4, 0). Ai dati disponibili mancano le coordinate del quarto vertice del parallelogramma, ma questo quarto dato non è importante poiché, per calcolare l'area del parallelogramma, sarà sufficiente avere a disposizione le misure della base della figura e della sua altezza, e questi dati sono già estrapolabili dalle coordinate di tre soli vertici del tuo parallelogramma.

Poniamo come base il lato del parallelogramma compreso tra i vertici A e B, dunque il lato della figura compreso tra le coordinate (2, -3) e (8,2) sul piano cartesiano. Attraverso la formula della distanza tra due punti sul piano, potremo conoscere la misura di questo lato che rappresenta la base del parallelogramma: Base = ?(Bv1 - Av1) ² + (Bv2 - Av2) ² = ?(8-2) ²+(2-[-3]) ² = ?(6) ²+(5) ² = ?36+25 = ?61 = 7,81. Applicando la formula, avremmo ottenuto il valore del lato di base del parallelogramma, il primo dato utile per conoscere l'area.

È il momento di calcolare l'altezza del parallelogramma. Questa volta dovremmo applicare la formula della distanza di un punto da una retta. Iniziamo con il calcolare la retta che passa per la base AB. Prendiamo uno dei vertici del parallelogramma, ad esempio il vertice A. Detti x1 e y1 le coordinate di questo primo punto, scriviamo: y-y1 = m (x-x1), dove m è il coefficiente angolare della retta. Per calcolare il coefficiente angolare m, dette x2 e y2 le coordinate del secondo vertice, il vertice B, avremo: m = (y2-y1) / (x2-x1) = 5 / 6. Applichiamo la formula per calcolare la retta: y + 3 = 5/6 (x - 2) = y + 3 = 5/6 x - 5/3. La retta sarà di equazione: y = 5/6x - 8.
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Calcoliamo adesso la distanza del punto dalla retta. Dette x0 e y0 le coordinate del vertice C, la distanza di questo vertice dalla retta sarà dato dalla formula: distanza = (ax0 + by0 + c) / ± ?a² + b². Scriviamo in questa forma: ax + by + c, per cui scriveremo la retta: 5/6 x - y - 8 = 0. Il simbolo ± è dovuto al fatto che una distanza deve essere sempre positiva. Calcoliamo la distanza sostituendo i punti: distanza = [(5/6)2 - 1(0) - 8] / ?(25/36 + 1). Il risultato sarà 3,58. Posto tale risultato, avremo dunque tutte le grandezze a disposizione per calcolare l'area, punto finale e decisivo della nostra ricerca. Per calcolare dunque l'area del parallelogramma dovremo utilizzare questa formula: Area = base x altezza = 7,81 cm x 3,58 cm = 27,96 cm². Ecco trovato il valore esatto dell'area.

L'area di un parallelogramma con i vertici dati in coordinate, può essere anche calcolata usando il prodotto a croce vettoriale. Una soluzione che è possibile affrontare anche sul piano puramente teorico. Vediamo come procedere. In questo caso, basterà sapere che l'area di un parallelogramma è uguale al prodotto della sua base e altezza. Utilizzando dunque i valori vettoriali derivati ??dai vertici, il prodotto della base e dell'altezza di un parallelogramma risulta sempre uguale al prodotto incrociato dei suoi lati adiacenti. Dunque, in questi casi, bisgonerà compilare la prima riga con i valori vettoriali di un lato del parallelogramma, posizionando il valore x nella prima colonna e il valore y all'interno della seconda colonna. Mentre, nella terza colonna, si dovrà scrivere zero.

• Per il calcolo dell'area di un parallelogramma con i vertici dati in coordinate, è sempre meglio padroneggiare con sicurezza tutte le formule inverse

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