Come trovare l'area di un parallelogramma con i vertici

Se siamo alle prese con un compito o un esame di geometria analitica con un problema da risolvere, e la richiesta del compito è quella di calcolare l'area di un parallelogramma, avendo a disposizione esclusivamente le coordinate dei suoi vertici sul piano cartesiano, ecco una breve ma utile guida che potrà aiutarci. Vediamo allora come trovare l'area di un parallelogramma con i vertici.

• Vertici

Trovare il valore dell'area di un parallelogramma, avendo a disposizione, come unici dati, le coordinate dei vertici sarà facile e veloce. I vertici del parallelogramma in questo problema di esempio sono:
A (2, -3)
B (8, 2)
C (4, 0)
Ai dati disponibili mancano le coordinate del quarto vertice del parallelogramma, ma questo quarto dato non è importante poiché, per calcolare l'area del parallelogramma, sarà sufficiente avere a disposizione le misure della base della figura e della sua altezza, e questi dati sono già estrapolabili dalle coordinate di tre soli vertici del tuo parallelogramma.

Poniamo come base il lato del parallelogramma compreso tra i vertici A e B, dunque il lato della figura compreso tra le coordinate (2, -3) e (8,2) sul piano cartesiano. Attraverso la formula della distanza tra due punti sul piano, potremo conoscere la misura di questo lato che rappresenta la base del parallelogramma:

Base = ?(Bv1 - Av1) ² + (Bv2 - Av2) ² = ?(8-2) ²+(2-[-3]) ² = ?(6) ²+(5) ² = ?36+25 = ?61 = 7,81

Applicando la formula, avremmo ottenuto il valore del lato di base del parallelogramma, il primo dato utile per conoscere l'area.

È il momento di calcolare l'altezza del parallelogramma. Questa volta dovremmo applicare la formula della distanza di un punto da una retta. Iniziamo con il calcolare la retta che passa per la base AB. Prendiamo uno dei vertici del parallelogramma, ad esempio il vertice A. Detti x1 e y1 le coordinate di questo primo punto, scriviamo:

y-y1 = m (x-x1)

dove m è il coefficiente angolare della retta. Per calcolare il coefficiente angolare m, dette x2 e y2 le coordinate del secondo vertice, il vertice B, avremo:

m = (y2-y1) / (x2-x1) = 5 / 6

Applichiamo la formula per calcolare la retta: y + 3 = 5/6 (x - 2) = y + 3 = 5/6 x - 5/3

La retta sarà di equazione: y = 5/6x - 8
.

Calcoliamo adesso la distanza del punto dalla retta. Dette x0 e y0 le coordinate del vertice C, la distanza di questo vertice dalla retta sarà dato dalla formula:

distanza = (ax0 + by0 + c) / ± ?a² + b²

Scriviamo in questa forma: ax + by + c, per cui scriveremo la retta: 5/6 x - y - 8 = 0

Il simbolo ± è dovuto al fatto che una distanza deve essere sempre positiva. Calcoliamo la distanza sostituendo i punti:

distanza = [(5/6)2 - 1(0) - 8] / ?(25/36 + 1)
Il risultato sarà 3,58.

Calcoliamo infine l'area:

Area = base x altezza = 7,81 cm x 3,58 cm = 27,96 cm².

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