Come trovare l'angolo tra le diagonali di un cubo

Se si disegnano due diagonali in un quadrato si forma una croce al centro e quattro triangoli rettangoli, poiché le due linee si incrociano a 90 gradi. Si potrebbe quindi immaginare che due diagonali in un cubo ognuna delle quali va da un angolo all'altro attraversando il centro formino un angolo retto. Tuttavia questa è una definizione sbagliata; infatti, in un cubo per determinare l'angolo di due diagonali che si incrociano l'una con l'altra è leggermente più complicato di quanto possa sembrare a prima vista, e il calcolo richiede una buona conoscenza dei principi della geometria e della trigonometria. In riferimento a quanto sin qui premesso, ecco una guida con alcuni utili consigli su come trovare l'angolo tra le diagonali di un cubo.

• Attrezzi da disegno
• Testi di trigonometria

Per determinare quanto sopra descritto, bisogna innanzitutto disegnare un rettangolo per rappresentare le due diagonali lunghe che attraversano il centro del cubo allo scopo di trovare l'angolo della loro intersezione. Questo rettangolo tra l'altro dovrà essere di ?2 unità di altezza. Premesso ciò, va detto che le diagonali lunghe si intersecano l'una con l'altra nel centro del rettangolo e formano due diversi tipi di triangolo, uno dei quali ha un lato pari ad un'unità e gli altri due uguali a ?3 / 2 (metà della lunghezza di una diagonale lunga). L'altro ha anche due lati uguali a ?3 / 2, ma il terzo opposto è uguale a ?2. In tal caso bisogna analizzare uno dei triangoli per trovare il valore dell'angolo sconosciuto.

Per determinare il concetto con una formula trigonometrica bisogna enunciarla nel seguente modo: c ^2 = a ^2 + b ^2 - 2 ab * coseno di C per ricavare l'angolo sconosciuto di questo triangolo. Essendo che C = 1 e A e B sono uguali a ?3 / 2 ed inserendo questi valori nell'equazione, si stabilisce che il coseno dell'angolo sconosciuto è pari ad 1/3. Calcolando poi il coseno inverso di 1/3, ne consegue un angolo di 70,5 gradi. Utilizzare il teorema di Pitagora è in tal senso indispensabile per determinare la lunghezza di una diagonale sulla faccia opposta del cubo e denominarla "diagonale lunga". Grazie a ciò, si otterrà un triangolo rettangolo con un lato pari a un'unità e un altro uguale alla diagonale corta ovvero ?2 unità. Il quadrato dell'ipotenusa essendo a sua volta uguale alla somma dei quadrati dei lati deve essere ?3 unità, per cui ne consegue che ciascuna diagonale del cubo sarà lunga ?3 unità.

A margine di questa guida dopo aver spiegato con le formule trigonometriche come trovare l'angolo tra le diagonali di un cubo, riteniamo opportuno verificare se le diagonali stesse delle facce siano tutte congruenti. Per fare ciò è sufficiente utilizzare delle squadrette e della carta millimetrata. Su quest'ultima va poi fissato un vertice che denominiamo A, dopodichè scegliamo due diagonali che si incontrano tra loro. A questo punto i due estremi che ne derivano e che chiameremo B e C non sono altro che i vertici opposti di una faccia del cubo, e quindi ci consentono di ottenere visivamente la terza diagonale a cui attribuiamo la sigla BC.

• Come trovare l'angolo tra le diagonali di un cubo