Come trovare l'angolo tra le diagonali di un cubo

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Se si disegnano due linee diagonali in un quadrato, si formerebbe una croce al centro e quattro triangoli rettangoli, poiché le due diagonali si incrociano a 90 gradi. Si potrebbe quindi intuitivamente immaginare che due diagonali in un cubo, ognuna delle quali va da un angolo all'altro attraversando il centro, formino un angolo retto; ma ciò sarebbe sbagliato. In un cubo, determinare l'angolo di due diagonali che si incrociano l'una con l'altra è leggermente più complicato di quanto possa sembrare a prima vista, poiché il calcolo richiede una buona conoscenza dei principi della geometria e della trigonometria. Ecco come trovare l'angolo tra le diagonali di un cubo.

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Disegnare un rettangolo per rappresentare le due diagonali lunghe che attraversano il centro del cubo allo scopo di trovare l'angolo della loro intersezione. Questo rettangolo dovrà essere di √2 unità di altezza. Le diagonali lunghe si intersecano l'una con l'altra nel centro del rettangolo e formano due diversi tipi di triangolo, uno dei quali ha un lato pari ad un'unità e gli altri due lati uguali a √3 / 2 (metà della lunghezza di una diagonale lunga). L'altro ha anche due lati uguali a √3 / 2, ma l'altro suo lato è uguale a √2. Analizzare uno dei triangoli per trovare il valore dell'angolo sconosciuto.

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Usare la formula trigonometrica c ^2 = a ^2 + b ^2 - 2 ab * coseno di C per ricavare l'angolo sconosciuto di questo triangolo. Essendo che C = 1 e A e B sono uguali a √3 / 2, inserendo questi valori nell'equazione, si stabilisce che il coseno dell'angolo sconosciuto è 1/3. Calcolando il coseno inverso di 1/3, ne consegue un angolo di 70,5 gradi.

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Utilizzare il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza di una diagonale sulla faccia opposta del cubo e denominarla "diagonale lunga". A questo punto, si otterrà un triangolo rettangolo con un lato pari a un'unità e un altro lato pari alla diagonale corta, ovvero √2 unità. Il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei lati, quindi l'ipotenusa deve essere √3 unità. Quindi, ciascuna diagonale del cubo sarà lunga √3 unità. Definire la lunghezza di un angolo come un'unica unità. Per definizione, ogni angolo del cubo ha una lunghezza identica. Utilizzare il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza di una diagonale che parte da un angolo e va all'angolo opposto della stessa faccia. Per motivi di chiarezza, denominiamo quest'ultima "diagonale corta". Ogni lato del triangolo formato è un'unità, in modo che la diagonale deve essere pari a √2.

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