Come trovare K in un fascio di circonferenze

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Cominciamo spiegando cosa si intende per circonferenza. La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano costituito da tutti i punti equidistanti da un punto fisso chiamato "centro". La distanza fra un qualsiasi punto della circonferenza e il centro è chiamata "raggio". Il doppio del raggio è il "diametro". La circonferenza è una figura geometrica piana che si ritrova in svariati problemi delle scuole medie superiori e dei primi anni dei licei scientifici. I problemi più classici sono quelli che richiedono di calcolare alcune grandezze fondamentali della circonferenza, come ad esempio il perimetro, il raggio e così via. Altri problemi richiedono una conoscenza più approfondita dei fondamenti della geometria. In questa guida vediamo come trovare K in un fascio di circonferenze.

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Così come ogni figura geometrica, o funzione, anche la circonferenza ha una equazione caratteristica. L' equazione di una qualsiasi circonferenza è data da (x-a)^2 + (x-b)^2 = r^2, con r raggio, e centro nel punto (a, b). Sviluppando i quadrati nella precedente equazione otteniamo x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 con c = a^2 + b^2 - r^2. Quest' ultima equazione prende il nome di equazione canonica e descrive per ogni raggio e centro fissato una singola circonferenza. Affinché una circonferenza sia rappresentabile su un piano cartesiano deve essere r > 0 e quindi bisogna sempre controllare che valga tale condizione.
Un fascio di circonferenze è un insieme di infinite circonferenze ed è descritto da un' equazione in cui compare un parametro k arbitrario. Per un dato valore di k avremo una corrispondente circonferenza.

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L' equazione generale che descrive un fascio di circonferenze è la seguente (x^2 + y^2 + ax + by + c) + k (x^2 + y^2 + a'x - b'y + c') = 0. Da questa equazione k si ricava facilmente: poniamo y1 = (x^2 + y^2 + ax + by + c) e y2 = (x^2 + y^2 + a'x - b'y + c'). Allora k = -y1/y2.
Proviamo a risolvere un semplice esercizio per capire come si effettua il calcolo di k in pratica. Sia dato il fascio di circonferenze x^2 + y^2 + 2x - 4y + k = 0 e la retta r di equazione 2x + y - 1 = 0. Vogliamo trovare il valore di k affinché la retta r sia tangente alla circonferenza.

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Osserviamo che il centro dell' equazione delle circonferenze del fascio è dato dal punto C (-a/2, -b/2) = (-1, 2). Quindi il centro è fisso e non varia al variare del parametro k: il fascio descrive un insieme infinito di circonferenze con stesso centro, e quindi concentriche, e con raggi diversi a seconda del valore di k. Affinché la retta r sia tangente al fascio di circonferenze dobbiamo avere che la distanza della retta dal centro deve essere pari al raggio del fascio di circonferenze al variare di k. Il raggio del fascio è dato da R = 1/2 Rad (a^2 + b^2 - 4c) = Rad (5-k).
La distanza dalla retta r dal centro C è data da d (r, C) = |ax0 + by0 + c| / Rad (a^2 + b^2) con x0 e y0 coordinate del centro. Quindi d (r, C) = 1/Rad (5).
Vogliamo che la distanza d sia uguale al raggio R: 1/Rad (5) = Rad (5-k). Svolgendo questa equazione otteniamo k = 25/5.

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