Come trovare il vertice dell'iperbole equilatera

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

L'iperbole è una figura geometrica che fa parte delle cosiddette sezioni coniche. Per conica, si intende una curva piana in cui alcuni punti sono l'intersezione di un piano cartesiano con un cono circolare.
Nell'ambito della geometria euclidea, l'iperbole è il luogo dei punti di un piano in cui la differenza delle distanze da due punti fissi è sempre la stessa. Questi due punti fissi si chiamano fuochi e la differenza delle distanze da essi è una costante.
Nello specifico, andiamo a vedere come si comporta un'iperbole equilatera. Prima però cerchiamo di definirla, per capire meglio su quale figura andremo a fare i nostri calcoli.
Una volta enunciata la sua definizione, vedremo come trovare il vertice dell'iperbole equilatera.

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Occorrente

  • Manuale di algebra
  • Disegno del piano cartesiano
  • Definizione di iperbole equilatera
  • Formule dell'equazione di iperbole equilatera
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Solitamente, ad un'iperbole si associano alcune componenti. Abbiamo visto cosa sono i fuochi, ora occupiamoci degli asintoti. Si tratta sostanzialmente di due rette che sono tangenti dell'iperbole in un punto all'infinito.
Quando parliamo di iperbole equilatera, stiamo lavorando su una sezione conica in cui gli asintoti sono perpendicolari tra loro.
Volendo esprimere questo concetto con una formula arriveremo ad affermare il seguente concetto. Data un'iperbole equilatera con asintoti x = a e y = b, il limite delle funzioni che tendono rispettivamente ad a e b è infinito in entrambi i casi.

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Un'iperbole equilatera ha generalmente un'equazione di questo tipo: x^2 - y^2 = c. In questo caso avremo un'iperbole riferita agli assi cartesiani.
Per trovare i vertici di questo tipo di conica, dovremo andare a reperire i punti di intersezione dei suoi rami con l'asse delle ascisse e quello delle ordinate, ovvero x ed y.
Se c è maggiore di zero, i rami dell'iperbole equilatera si intersecheranno con l'asse x. Mentre nel caso di c minore di zero, l'intersezione sarà tra i rami e l'asse y.
I punti di interserzione con x ed y saranno dunque i vertici, come detto poc'anzi. Identificheremo questi punti con V1 e V2.
Vediamo come appare il tutto sotto forma di formula algebrica:
V1 (-√c; 0) e V2 (√c; 0) se c>0;
V1 (0; -√-c) e V2 (0; √-c) se c<0.

Continua la lettura
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Nel caso di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, avremo una coincidenza tra questi ultimi e gli assi cartesiani. Se volessimo esprimere questo contesto geometrico con un'equazione, allora la formula sarebbe xy = c, in cui "c" è un numero diverso da zero.
Se "c" è maggiore di zero, l'iperbole equilatera interseca la bisettrice di primo e terzo quadrante. Qualora invece fosse minore, allora i quadranti intersecati sarebbero il secondo e il quarto.
I punti di intersezione di ciascuno dei 4 quadranti sono i vertici dell'iperbole equilatera con equazione xy = c.
Per trovare il vertice di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, dovremo ricorrere al seguente sistema:
V1 (-√c; -√c) e V2 (√c; √c) nel caso in cui c>0;
V1 (-√-c; -√-c) e V2 (-√-c; -√-c) nel caso in cui c<0.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Prima di lavorare su un'iperbole equilatera, ripassate le nozioni sulle sezioni coniche.
  • Disegnate il piano cartesiano su un foglio a quadretti per avere una panoramica visiva delle equazioni che studiate.
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