Come trovare il seno di un angolo senza un calcolatore

Tramite: O2O 28/08/2018
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La trigonometria è quella parte della geometria che si concentra sullo studio dei triangoli e sull'elaborazione di formule matematiche atte alla loro descrizione.Uno degli scopi principali che si pone la materia della trigonometria, è lo studio delle funzioni trigonometriche, che sono una specifica branca delle funzioni, la cui particolarità è quella di essere costruite partendo dalla circonferenza goniometrica, ovvero una circonferenza costruita su un piano cartesiano con centro nell'origine e di raggio unitario. Tra di esse, una delle più importanti risulta essere la funzione seno. Se avete bisogno di ricavare il seno di un angolo senza poter usufruire del calcolatore, non disperate: avete trovato la guida giusta per voi! In trigonometria, infatti, si può trovare il valore del seno di un angolo, seguendo determinati principi, indispensabili per la risoluzione del problema. Tramite questo tutorial, vi indicheremo il corretto procedimento da seguire. Ora leggetevi i passi di questa guida per scoprire Come trovare il seno di un angolo senza un calcolatore. La questione non è impossibile come potrebbe sembrare a una prima analisi.

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Occorrente

  • Carta e penna
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Concetti fondamentali

Prima di tutto è necessario fissare alcuni concetti basilari.Partiamo dalla circonferenza goniometrica: si tratta di una circonferenzaa che ha come centro l'origine di un sistema di riferimento degli assi cartesiani e di raggio uguale a 1.

Consideriamo il punto A (1;0). Questo punto è detto origine degli archi, che si devono sempre misurare in senso antiorario.
Essendo P un punto qualsiasi sulla circonferenza, si dice coseno di ? e si indica con la scritta "cos?", l'ascissa del punto goniometrico P, ovvero la coordinata di P individuata sull'asse orizzontale (o delle x); mentre si dice seno di ? e si indica con la scritta "sen?" l'ordinata del punto goniometrico P, ovvero la coordinata di P sull'asse verticale (asse delle y).

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La funzione seno

Partiamo con un esempio: individuiamo un punto P a caso sulla circonferenza goniometrica, di coordinate generiche x;y.Abbiamo ottenuto l'arco di circonferenza AP, sotteso da un certo angolo.
Ora individuiamo le coordinate di P su entrambi gli assi cartesiani e chiamiamo questi punti R e S. A noi interessa calcolare il seno, che, in una circonferenza goniometrica, corrisponde all'ordinata del punto P. Infatti, considerando il triangolo POR, dove R è la proiezione di P sull'asse delle ascisse, potete stabilire che il seno dell?angolo ? è il rapporto che intercorre tra il cateto opposto allangolo stesso e l?ipotenusa del triangolo rettangolo. Quindi: sin (?) = cateto /ipotenusa, sin (?) = RP/OP. Essendo in una circonferenza goniometrica l'ipotenusa uguale a 1 per definizione, il seno corrisponde alla misura del cateto opposto all'angolo.Analogamente il coseno sarà la proiezione di P sulle ascisse.

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Calcolo del seno

Abbiamo quindi verificato come il seno sia dato dalla misura del cateto opposto all'angolo in considerazione, posto questo angolo in un triangolo rettangolo con ipotenusa 1.Se l'ipotenusa è diversa da 1, per ricavare il seno è necessario calcolare il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa stessa. Quindi, preso un qualsiasi angolo, anche di misura ignota, è sufficiente inserirlo in un triangolo rettangolo (basta prolungare i lati dell'angolo ed unirli con un terzo che vada a formare un angolo retto con uno dei due) e calcolare il rapporto tra il cateto opposto e l'ipotenusa. Calcolato il seno potrete inoltre risalire facilmente alla misura dell'angolo usando la funzione inversa su di una calcolatrice.

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Metodi matematici

Oltre a quello descritto prima, esistono altri metodi per ricavare matematicamente il seno di un angolo.Supponendo di conoscere il coseno dell'angolo, è utile ricordare che sen^2a+cos^2a =1. Questa è una delle formule fondamentali della trigonometria. Da qui è possibile ricavare il seno usando la formula inversa.Supponiamo ora di conoscere la tangente di un angolo, è possibile ricavare il seno ricordando che tan=sen/cos. Analogamente possiamo ricavare il seno da un'arcotangente (arctan=cos/sen).Esistono altre numerose formule per ricavare matematicamente seno e coseno, ne trovate alcune nei link in descrizione.

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Angoli notevoli

Alcuni angoli sono detti notevoli in quanto presentano dei valori del seno e del coseno degni di nota. È utile quindi memorizzare i valori trigonometrici di seno e coseno corrispondenti a questi angoli, in quanto vi si può imbattervi spesso.Tali angoli sono: 30°, 45°, 90°, 60°, 180°.I valori dei loro seni sono esprimibili o come numeri semplici (0, 1, -1) o come frazioni di radicali.

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Studio goniometrico del seno

L'osservazione della circonferenza goniometrica ci restituisce delle utili informazioni sulla funzione seno.Innanzitutto osserviamo che il piano cartesiano si divide in quattro quadranti, numerati in senso antiorario.Il primo quadrante risulta positivo sia per le ascisse che per le ordinate, analogamente, il terzo è negativo per entrambe. Il secondo è positivo per le ordinate e negativo per le ascisse e il quarto è positivo per le ascisse e negativo per le ordinate. I quadranti sono quindi utili nel prevedere il valore del seno. Infatti, ponendo l'angolo in esame con il centro coincidente con quello degli assi e valutando in quale quadrante ricade, possiamo valutare, in base alla positività delle ordinate di quel quadrante, se il suo seno risulterà positivo o negativo.Possiamo anche notare che angoli supplementari hanno lo stesso valore del seno.Inoltre risulta evidente, avendo la circonferenza goniometrica raggio = 1 che i valori di seno e coseno sono sempre compresi tra -1 e 1. Quindi verificate che i risultati ottenuti rientrino in questo intervallo, altrimenti avrete sbagliato qualcosa.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per risolvere un problema complesso è spesso utile procedere per gradi e dividerlo in problemi più piccoli, mantenete la calma e la concentrazione.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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