Come trovare il nucleo di una applicazione lineare

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Un argomento estremamente importante per l'esame di geometria, riguarda il metodo per trovare il nucleo di una applicazione lineare; infatti, si tratta di avere una certa pratica e dimestichezza in merito. Nella seguente guida vi sarà spiegato in modo breve e conciso, come trovare il suddetto nucleo attraverso una determinata applicazione lineare.

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Prima di iniziare la descrizione vera e propria dell'argomento in oggetto, è doveroso fare dei cenni sull'applicazione lineare, per sapere di cosa effettivamente si tratta. Nello specifico rappresenta una formula tra due vettori, nella quale sono in vigore la cosiddetta proprietà commutativa, per poi calcolare una costante. Volendo enunciare una formula diciamo che "F (X, Y) = F (X) * F (Y)" e "F (aX) = a * F (X)", dove "X" ed "Y" sono i vettori ed "a" è una costante.

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Successivamente, è importante sottolineare che per riuscire a trovare il nucleo (che possiamo chiamare semplicemente KER), sarà necessario scrivere prima l'applicazione lineare di riferimento come se fosse una matrice. Per effettuare ciò, bisogna innanzitutto calcolare i diversi vettori come ad esempio 100..0, e trasformarli nella suddetta applicazione lineare, e scriverli quindi in un'apposita riga. In tal caso uscirà una matrice "N x N", dove la "N" rappresenta il numero di coordinate dei vettori con cui state lavorando in questo momento. Adesso, la prima cosa da fare è di calcolare il determinante della matrice; infatti, se quest'ultimo fosse diverso dal numero zero, allora il "KER" dell'applicazione lineare risulterà pari ed uguale a "0", e questo determinerà che il vettore sarà nullo (0, ..., 0) dopo la trasformazione con l'applicazione lineare; se invece, il determinante della matrice sarà uguale a zero, allora il "KER" risulterà sempre maggiore di "0" e, per poterlo calcolare, basterà risolvere il sistema lineare associato alla matrice stessa.

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Dopo che avrete risolto l'operazione in questione, otterrete delle variabili che dipendono sicuramente da altre. Lo spazio che sarà generato dal vettore della variabile presa in considerazione, rappresenterà invece lo spazio del nucleo dell'applicazione lineare su cui state lavorando. Per facilitarvi il compito, potete comunque esercitarvi su degli appositi siti web, che permettano di effettuare questi calcoli, e con un po' di pazienza e tanta costanza, sicuramente riuscirete a raggiungere degli ottimi risultati anche in breve tempo, e quindi quando vi verranno assegnati dei problemi di questa natura li risolverete velocemente.

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