Come trovare il minimo di una successione

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Difficoltà: media
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Introduzione

Una successione, definita anche sequenza infinita oppure stringa infinita, in analisi matematica è definita in modo intuitivo alla stregua di una lista ordinata formata da un numero infinito di oggetti, chiamati termini della successione, fra i quali deve essere possibile individuare un primo, un secondo, un terzo e, nel complesso, un n-esimo termine per ciascun numero naturale n. Una successione, definita anche sequenza infinita oppure stringa infinita, in analisi matematica è definita in modo intuitivo alla stregua di una lista ordinata formata da un numero infinito di oggetti, chiamati termini della successione, fra i quali deve essere possibile individuare un primo, un secondo, un terzo e, nel complesso, un n-esimo termine per ciascun numero naturale n. Diversamente da quanto accade per gli insiemi numerabili, nel caso della successione è importante l'ordine degli oggetti, e un medesimo oggetto è in gradi di presentarsi più di una volta, infatti differenti termini possono coincidere insieme. Queste proprietà hanno similitudini a quelle che differenziano una n-upla ordinata rispetto un insieme formato da n elementi. Vediamo di seguito come trovare il minimo di una successione.

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Definizione di una successione

Per trovare il minimo di una successione prima di tutto teniamo a mente la definizione: per una successione an, L è il limite massimo di an se si tratta dell’estremo minimo dei maggioranti definitivi. Un maggiorante definitivo per an è una cifra M, quindi troviamo ν ∈ IR in modo che an < M∀n > ν. Allo stesso modo il minimo limite è definito come l’estremo maggiore dei minoranti definitivi, in cui un minorante definitivo è una cifra m per la quale sussiste ν ∈ IR in modo che an > m∀n > ν.

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Verifica delle proprietà

Da questo presupposto si ottiene questa definizione: una cifra L è massimo limite di una successione an nel caso in cui si verifichino le seguenti proprietà congiuntamente: ∀ε > 0∃ν ∈ IR: an < L + ε ∀n > ν∀ε > 0, per indici infiniti an > L − ε. Allo stesso modo che per il maggiorante definitivo una cifra pari a l è limite minimo di una successione nel caso in cui si verifichino le seguenti proprietà congiuntamente: ∀ε > 0∃ν ∈ IR: an > l − ε ∀n > ν∀ε > 0, per indici infiniti an < l + ε.

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Individuazione del minimo

Una modalità per individuare il limite massimo e minimo di una successione è questo: individuare due sottosuccessioni {ank}, {anh}, tendenti a due limiti differenti, l, L, e poi, nel caso in cui l sia definita in modo che∀ε > 0∃ν ∈ IR: an > l − ε ∀n > ν l è limite minimo di an. Invece nel caso in cui L sia definita in modo che∀ε > 0∃ν ∈ IR: an < L + ε ∀n > νL è limite massimo di an.

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