Come trovare il limite di una funzione trigonometrica

Anche se l'analisi matematica potrebbe sembrare un argomento molto complesso, i suoi teoremi, le sue formule ed i suoi esercizi sono esplicativi e dimostrativi dell'applicazione di teorie. Pertanto, entrando nell'ottica di questa affascinante materia e comprendendone il meccanismo, si può godere di notevoli soddisfazioni, ogniqualvolta si arriva alla risoluzione di un problema affrontato. In matematica il criterio di limite è di fondamentale importanza, perché consente svariati tipi di calcolo, come ad esempio quello di sommare elementi infiniti sempre più piccoli che ci condurranno ad un risultato abbastanza vicino alla realtà, ossia ad un valore che può essere: finito, infinito o inesistente. In altri termini si tratta di un valore che viene avvicinato sempre più da una funzione senza mai essere raggiunto da essa. Questo succede nel caso in cui la variabile indipendente (generalmente x) tende a zero, a infinito o ad un valore specifico dell'intervallo di esistenza della funzione. Vediamo dunque come trovare il limite di una funzione trigonometrica.

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Una funzione goniometrica (o trigonometrica) è una funzione che ci permette di studiare gli angoli e sono fondamentali per il calcolo dei lati di un triangolo. Tutti le conosciamo come: seno: sen (x), coseno: cos (x), tangente: tan (x), cotangente: cotan (x), arcotangente: arctan (x). Per utilizzare funzioni trigonometriche, dobbiamo prima capire come misurare gli angoli. Anche se possiamo usare sia radianti che gradi, i radianti sono una misura più naturale perché sono correlati direttamente alla cerchio unitario, ovvero un cerchio con raggio 1. La misura radiante di un angolo è definita da un angolo avente la lunghezza dell'arco corrispondente a quella del cerchio unitario. Poiché un angolo di 360° corrisponde alla circonferenza di un cerchio o ad un arco di lunghezza 2?, possiamo dire che un angolo di 360° ha una misura radiante di 2?. Allo stesso modo, noteremo che 180° equivale a ? radianti.

Prima di procedere con il calcolo del limite, dobbiamo prima ricavare il campo di esistenza della funzione, ossia quell'intervallo per cui la funzione risulta un valore accettabile di y, dove y=f (x). Solitamente il dominio è esteso a tutto il campo dei numeri reali, però esistono casi particolari. Il primo riguarda le equazioni fratte, dove si pone il denominatore diverso da 0. Il secondo sono i radicali, in cui l'argomento della radice deve essere maggiore o uguale a 0. Infine abbiamo i logaritmi, nei quali l'argomento deve essere maggiore di zero.

Per definire le funzioni trigonometriche, considerare innanzitutto un cerchio unitario centrato sull'origine e un punto P = (x,y) sul cerchio stesso. Impostiamo ? come un angolo con un lato iniziale che si trova lungo l'asse x e con un lato terminale che è la coordinata y. Si dice che un angolo in questa posizione sia in posizione standard. Possiamo quindi definire i valori delle sei funzioni trigonometriche per ? in termini di coordinate X e Y.

Per quanto riguarda invece le funzioni trigonometriche, il campo di esistenza agisce sugli angoli, e quindi abbiamo un intervallo del tipo (-2x, 2x), dove x corrisponde al ? (in angolo 180°). A questo punto iniziamo ad eseguire lo studio della nostra funzione calcolando il dominio di essa. Se non presenta proprietà particolari, calcoliamo il limite (destro e sinistro) su tutto l'angolo giro, in caso contrario bisogna fare l'operazione sull'intervallo adeguato. Le funzioni trigonometriche ci permettono di utilizzare misure angolari, in radianti o gradi, per trovare le coordinate di un punto su qualsiasi cerchio, non solo su un cerchio unitario, oppure per trovare un angolo dato un punto sul cerchio stesso. Inoltre, esse definiscono anche la relazione tra i lati e gli angoli di un triangolo.

Osserviamo ora il risultato: se uno dei due limiti, destro o sinistro, risulta infinito o non esistente, allora avremo una discontinuità di 2° specie e la funzione convergerà a più o meno infinito secondo l'asintoto verticale x=a, dove a è il valore per cui calcoliamo il limite. La funzione, di conseguenza, convergerà o divergerà a seconda dei risultati. Va detto, quindi, che tale spiegazione è molto generale poiché varia da funzione a funzione; però vi può aiutare a capire meglio l'operazione di limite per un equazione goniometrica.

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