Come trovare il dominio nelle funzioni razionali fratte

Tramite: O2O 02/02/2016
Difficoltà: media
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Introduzione

Nel corso dei propri studi, sarà capitato a tutti di doversi imbattere in problemi matematici con la presenza di funzioni, segni e dominio. In questo articolo cercheremo di capire come risolvere e trovare il dominio nelle funzioni razionali fratte, ovvero nelle funzioni in cui il secondo membro è rappresentato da una frazione con polinomi al numeratore e al denominatore.

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Chiariamo innanzitutto che la funzione è una relazione tra due insiemi (non necessariamente numerici) tali che, ad ogni elemento del primo insieme (identificato come X) corrisponde un elemento del secondo insieme (rappresentato con la lettera Y). In analisi matematica esistono vari tipi di funzioni, ma in questo caso tratteremo solo ed esclusivamente di quelle razionali e fratte, ovvero quelle senza alcuna presenza di radice e composte da numeratore e denominatore.

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Dovremmo calcolarne il dominio cioè tutti i valori assegnati alla variabile X affinché esista un corrispondente valore Y. Ovvero vedremo dove è definita una funzione. Queste funzioni possono essere sia semplici che trigonometriche quindi con la presenza di seno, coseno, tangente e cotangente. Per prima cosa dobbiamo escludere i punti in cui il denominatore si annulla.

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Per esempio nella funzione semplice fratta e razionale Y= (x^2+3)/(x^2-4) per trovare il dominio, dobbiamo porre il denominatore diverso da zero. Dunque: x^2-4=/0 che segue x^2=/4. I risultati saranno quindi x=/ + e -2. Vi è la presenza del doppio segno poiché abbiamo risolto una x^2 ovvero la radice quadrata di 4. Ecco quindi trovato il nostro dominio.

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Sono altrettanto semplici da risolvere anche le funzioni trigonometriche, in quanto per trovare il dominio richiedono lo stesso procedimento: dunque partire dal porre il denominatore diverso da zero. L'unica cosa da fare prima, è sostituire i valori delle funzioni di seno, coseno o comunque tutte quelle presenti.
Y= 1/sen4x. Quindi: sen4x=/0. Semplifichiamo il 4 e lo 0, dividendoli per 4. Dunque: x=/0. Poiché si tratta del seno sappiamo bene, che questo fa mezzo giro introno alla circonferenza quindi si aggiunge k180/4.
Segue quindi: X=/ 0 + k180/4 ovvero x=/k45. Tutto ciò grazie alla semplificazione. Ecco trovato il dominio.
Un altra funzione che spesso fa preoccupare gli studenti, è quella con la presenza dei logaritmi naturali, come ad esempio Y= (2-x)/ (lnx-1). Vale sempre la stessa procedura quindi lnx-1=/0 ovvero lnx=/1. In questo caso entra in gioco la lettera di nepero ovvero la e. Quindi lnx =/ lne. Si eliminano i due ln (logaritmo naturale) e resta x =/ e.

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