Come trovare il dominio nelle funzioni razionali fratte

Nel corso degli studi di scuola media o superiore, sarà capitato a tutti di doversi imbattere in problemi matematici con la presenza di funzioni, segni e domini. In questa guida cercheremo di capire come risolvere e trovare il dominio nelle funzioni razionali fratte, ossia nelle funzioni in cui il secondo membro è rappresentato da una frazione con polinomi al numeratore e al denominatore. Vediamo dunque come occorre procedere per effettuare un calcolo sempre attendibile.

• Testo di algebra per le scuole superiori
• Calcolatrice

Chiariamo innanzitutto che la funzione è una relazione tra due insiemi (non necessariamente numerici) tali che, ad ogni elemento del primo insieme (identificato come X) corrisponde un elemento del secondo insieme (rappresentato con la lettera Y). In analisi matematica esistono vari tipi di funzioni, ma in questo caso tratteremo solo ed esclusivamente di quelle razionali e fratte, ovvero quelle senza alcuna presenza di radice e che si compongono di numeratore e denominatore. Calcolare il dominio non sarà affatto difficile. Occorrerà solamente seguire il procedimento giusto, che poi potrà essere applicato ad ogni esempio specifico. Vediamo come fare.

Per calcolare il dominio, sarà quindi necessario calcolare tutti i valori assegnati alla variabile X affinché esista un corrispondente valore Y. In questo caso stabiliremo dove è definita una funzione. Vi ricordiamo che le funzioni razionali fratte possono essere di due tipologie: esistono infatti quelle semplici e quelle trigonometriche. Queste ultime si caratterizzano per la presenza di seno, coseno, tangente e cotangente. Come procedere, dunque, per calcolare il dominio di tali frazioni? Per prima cosa sarà necessario escludere i punti in cui il denominatore si annulla.

Avvaliamoci di un esempio pratico per meglio definire le operazioni di calcolo necessarie per definire il dominio nelle funzioni razionali fratte. Procediamo dunque creando una funzione semplice fratta e razionale, del tipo Y= (x^2+3)/(x^2-4). Per trovare il dominio di tale funzione, dobbiamo porre il denominatore diverso da zero. Dunque, procederemo in questo modo: x^2-4=/0, che segue x^2=/4. I risultati saranno quindi x=/ + e -2. Da sottolineare che, in questo caso, vi è la presenza del doppio segno, poiché abbiamo risolto una x^2, ovvero la radice quadrata di 4. Ecco quindi trovato il nostro dominio. Questa operazione di calcolo dovrà essere utilizzata anche quando si desidera trovare il dominio di una qualsiasi altra funzione razionale di tipo fratto.

Sono altrettanto semplici da risolvere anche le funzioni trigonometriche, in quanto per trovare il dominio, richiedono lo stesso procedimento descritto nel precedente paragrafo di questa guida. Dunque occorrerà partire dal porre il denominatore diverso da zero. L'unica cosa da fare prima, è sostituire i valori delle funzioni di seno, coseno o comunque tutte quelle presenti. In questo modo avremo Y= 1/sen4x. Quindi, procedendo si avrà: sen4x=/0. Semplifichiamo il 4 e lo 0, dividendoli per 4. Dunque otterremo: x=/0. Poiché si tratta del seno, sappiamo bene che questo effettua mezzo giro attorno alla circonferenza, quindi è necessario aggiungere k180/4. Segue quindi: X=/ 0 + k180/4, ovvero x=/k45. Tutto ciò grazie alla semplificazione. Ecco trovato il dominio. Un' altra funzione che spesso fa preoccupare gli studenti è quella che prevede la presenza dei logaritmi naturali, come ad esempio Y= (2-x)/ (lnx-1). Ma non occorre allarmarsi perché, anche in questo caso, è necessario utilizzare sempre la stessa procedura, quindi: lnx-1=/0, ovvero lnx=/1. In questo caso entra in gioco il cosiddetto "numero di nepero", ossia la lettera "e". Quindi avremo: lnx =/ lne. Infine, bisognerà eliminare i due ln (logaritmo naturale) e resterà x =/ e.

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