Come trovare il dominio nelle funzioni irrazionali fratte

L'algebra è una materia che appare difficile e incomprensibile a chi non ne carpisce il primo segreto: ogni problema è scomponibile in altri più piccoli. Teoremi e tecniche varie, alcune da tenere sempre a mente, altre da ricercare in casi particolarmente complicati da affrontare, aiutano gli studenti a superare lo scoglio dell'algebra. Con questa guida vi mostrerò, per esempio come trovare il dominio delle funzioni irrazionali fratte, che sembrano a volte impossibili da affrontare, ma che poi si dimostrano solo un po' lunghe.

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Per definizione il dominio di una funzione è l'insieme dei valori che può assumere l'incognita per esempio la "x" facendo sì che la funzione continui ad esistere. Il primo passaggio da effettuare è la verifica della non nullità del denominatore. Dividere un qualsiasi numero per 0 da sempre un risultato privo di significato, e che si può solo cercare di affrontare con operazioni che coinvolgono i limiti e il teorema de l'Hopital dove applicabile. Quindi nel caso di equazioni irrazionali fratte, per prima cosa si pone il denominatore diverso da zero e si cerca la porzione di dominio dove ciò è verificato.

Il denominatore a questo punto è stato parzialmente studiato, perché abbiamo escluso i punti in cui si annulla, che si considerano valori proibiti, e che dovranno poi essere osservati come possibili punti per asintoti verticali con lo studio dei limiti desto e sinistro della funzione in quel punto. Purtroppo non abbiamo finito, perché dobbiamo ancora trovare il dominio del denominatore e il suo segno, che sono indispensabili dal punto di vista analitico. Ricordiamo infatti che delle funzioni noi non perdiamo tempo a calcolare i valori se non in pochi punti particolari, ma andiamo a valutare l'andamento asintotico, ossia il comportamento nei pressi di punti particolari. Verifichiamo quindi che sotto gli eventuali segni di radice pari non succedano cose strane. Le radici di ordine dispari come le cubiche hanno dominio su tutti i reali, mentre quelle pari solo sui reali positivi, quindi se ne deve studiare il segno. Va da se che si deve verificare anche ciò ce sta dentro la radice, perché potrebbe essere una funzione qualsiasi, a sua volta dotata di un dominio particolare.

Per un po' adesso ignoriamo il denominatore e i suoi risultati, a meno naturalmente che esso abbia dominio vuoto, che è un caso limite ma possibile. Per lo studio del numeratore dobbiamo per prima cosa determinarne il dominio, poi le radici e infine il segno. Si inizia cercando l'insieme dei valori della variabile per i quali il numeratore non presenta forme indeterminate. Se ci sono termini sotto radice si studiano come funzioni a se stanti verificandone il domino, che concorrerà alla formazione di quello complessivo. Se ci sono funzioni strane, come termini trigonometrici e logaritmici o cose ancor peggiori, si fa riferimento ai loro domini. Una volta determinato il dominio, su calcolano le radici del denominatore (se possibile, perché non è detto che si possa), e si determinano i segni, gli intervalli di positività e di esistenza, oltre ad eventuali asintoti.

Questa sezione è dedicata a studenti avanzati. Se ci troviamo a questo punto ad avere forme strane o sospette come zero su zero o infinito su zero oppure zero su infinito o anche infinito su infinito, non è necessariamente detto che il problema debba essere abbandonato. Esistono il teorema de l'Hopital che si impiega nel calcolo di questi casi, e lo studio degli infiniti e infinitesimi, che in sostanza stimano quanto è grosso un infinito rispetto ad un altro. Questa parte dello studio è complementare all'analisi della funzione ma non è di solito necessaria nei problemi per principianti dove si usano solo funzioni semplici.

A questo punto si devono tracciare il dominio del numeratore e quello del numeratore su uno stesso grafico orizzontale monodimensionale, su cui in casi si riportano anche i diagrammi dei segni, per tirarsi un po' avanti coi calcoli. La regola vuole che tutte le parti in cui il denominatore si annulla vengano eliminate dal dominio, che eventuali radici coincidenti siano studiate con metodi di analisi matematica avanzata per vedere se sono o no eliminabili, e che segni concordi diano valori positivi per la funzione e segni discordi valori negativi.

• Scomponete la funzione il più possibile prima di studiarla.

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