Come trovare il circocentro di un triangolo equilatero

Tramite: O2O 25/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Il triangolo è una costruzione fondamentale della geometria piana, ossia quella parte di geometria che si occupa delle figure bidimensionali. In base alle sue caratteristiche un triangolo può essere classificato in tre categorie generali: equilatero, isoscele e scaleno.Un triangolo è equilatero quando i tre lati hanno tutti la stessa lunghezza e, di conseguenza, anche gli angoli risultano congruenti (equiangolo).Il triangolo isoscele possiede la peculiarità di avere solo due dei tre lati congruenti, mentre lo scaleno possiede tre spigoli di dimensioni diverse.A causa delle proprietà geometriche il triangolo equilatero vede coincidere i tre punti fondamentali: ortocentro, incentro e baricentro, ma come si fa a trovare il circocentro?
In questa breve guida saranno illustrati i passaggi necessari ad individuarlo.

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Occorrente

  • Righello
  • Compasso
  • Matita
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Costruzione del triangolo

Il circocentro corrisponde al centro della circonferenza a cui è iscritto il triangolo e risulta, di conseguenza, equidistante dai vertici.
Il primo step è procedere al disegno, per essere sicuri di non sbagliare sarà necessario tratteggiare un triangolo equilatero sfruttando le regole del disegno tecnico:
si tracci un segmento AB di misura qualsiasi (questo sarà il lato del triangolo), si punti ora il compasso in A con apertura pari alla lunghezza AB e si tracci una prima circonferenza, successivamente si ripeta l'operazione puntando questa volta il compasso in B, l'intersezione fra le due circonferenze sarà il punto C.
Si uniscano quindi i vertici: A con C e C con B, a questo punto la costruzione del triangolo equilatero ABC è completa.

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Individuazione grafica del circoncentro

Dopo aver rappresentato il triangolo equilatero non resta che trovare il circocentro.
Partendo dalla definizione si sa che il circocentro (O) è l'origine della circonferenza che inscrive il triangolo equilatero e quindi, essendo i vertici A, B e C punti della circonferenza con origine in O la loro distanza dal centro è la medesima in tutti e tre i punti ed è esprimibile come il raggio della circonferenza in O.
Per intercettare l'origine è quindi necessario trovare l'intersezione dei punti medi dei lati del triangolo e per questa operazione sarà nuovamente necessario il compasso.
Si misuri la lunghezza di AB (immaginiamo 10 cm) e si fissi il compasso in A con un apertura di 5 cm (la metà del lato) tracciando una circonferenza. L'intersezione del cerchio con il segmento AB sarà il punto medio di AB, l'intersezione con AC sarà il corrispettivo dell'altro lato.
Si ripeta l'operazione puntando il compasso in C per trovare il punto medio di BC.
Una volta ottenuti i tre punti medi sarà necessario tracciare una retta che unisca il p.m. di AC con il vertice B ed un altra che dal p.m. BC punti verso il vertice A del triangolo, quindi una terza che dal p.m. AB punti verso il vertice C.
Il punto di intersezione delle rette sarà il circocentro O.

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Verifica

Seguire tutti i passaggi alla lettera è una garanzia di successo, ma se hai ancora qualche dubbio e vuoi essere sicuro al 100% che il circocentro individuato non sia in errore neanche di un millesimo di millimetro, c'è un semplice trucco che puoi adoperare!
Puntando il compasso in O e regolandone l'ampiezza a metà della lunghezza del lato del triangolo (AB) traccia una circonferenza: se quest'ultima interseca i vertici A, B e C senza sfiorare gli spigoli del triangolo allora il tuo circocentro è a prova di misurazione laser, in caso contrario sarà necessario rivedere i passaggi precedenti alla ricerca degli errori.

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Circocentro in geometria analitica

Qualora il triangolo equilatero di cui si deve individuare il circocentro risieda all'interno di un piano cartesiano e, di conseguenza, i suoi vertici siano individuati dalle coordinate X ed Y ed i suoi lati siano rette passanti per i punti in questione, il procedimento assume dei tratti più matematici che grafici, pur mantenendo lo stesso procedimento logico.
Possedendo le coordinate dei singoli vertici si procede a calcolare i lati mediante la formula di una retta passante per due punti: X-X1 / X2-X1 = Y-Y1 / Y2-Y1.
Per calcolare il punto medio tra due punti si utilizza la formula Xm = Xa + Xb / 2.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per un lavoro grafico ordinato e pulito si consiglia di adoperare una matita H (2H o 3H) sia per le rette di costruzione sia per la punta del compasso con cui tracciare le circonferenze: sarà, infatti, più facile, cancellarle in seguito, senza stropicciare o sbavare il foglio. Per evidenziare il triangolo, si consiglia l'utilizzo di una matita HB, dal tratto più deciso.
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