Come trovare il circocentro di un rombo

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il rombo è un quadrilatero che pur avendo i lati tutti uguali, non possiede anche angoli uguali. In realtà, gli angoli di un rombo sono uguali a coppie, e nella fattispecie quelli che si fronteggiano. Questa caratteristica gli impedisce di poter essere inscritto in una circonferenza, ma non vieta di circoscriverlo. In pratica è sempre possibile determinare una circonferenza che abbia come tangenti proprio i lati del rombo. Con questa guida scopriremo come trovare il circocentro di un rombo, che è proprio il centro di questa circonferenza.

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Occorrente

  • Carta quadrettata
  • Righello
  • Lapis
  • Calcolatrice
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Proprietà della circonferenza inscritta

La circonferenza inscritta nel rombo gode di una proprietà importante, la linea che unisce il lato al centro è uno dei suoi raggi, ed è perpendicolare a segmento tangente. In sostanza è possibile trovare un raggio che sia perpendicolare ad un lato qualsiasi del rombo. Con questo dato possiamo andare quindi ad affrontare banalmente il problema.

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Applicazione delle proprietà dei triangoli rettangoli

Detto quindi che esiste un raggio perpendicolare al lato del rombo non ci resta che andare ad impiegare pochi teoremi di geometria per proseguire. Se si uniscono fra loro gli angoli opposti del rombo, la figura geometrica risulta ripartita in 4 sezioni che fra loro formano angoli retti. Il rombo quindi può essere studiato con il teorema di Pitagora senza dover passare per Carnot. Per la proprietà dei triangoli rettangoli, se si traccia la perpendicolare all'ipotenusa, passante per il vertice che costituisce l'angolo retto, il triangolo viene suddiviso in due triangoli simili, che a loro volta sono simili a quello di partenza.

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Calcolo banale del raggio

Per il calcolo banale del raggio, basta quindi calcolare l'area di uno dei 4 triangoli in cui abbiamo ripartito il rombo, e dividerla per il cateto. In realtà, note le premesse il calcolo è davvero elementare. Di un rombo di solito sono note le diagonali. L'area del rombo è il semiprodotto delle diagonali. Questo semiprodotto è pari al quadruplo del lato moltiplicato per il raggio del cerchio inscritto.

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Esempio applicativo

Calcolare il circocentro di un rombo con diagonale maggio D pari a 10 e diagonale minore d pari a 5. Il calcolo parte con: A=D*d/2 che ci fornisce l'area. L=sqrt{[(d/2)^2]+[(D/2)^2] dove L è il lato del rombo e sqrt indica la radice quadrata ( è il teorema di Pitagora). Abbiamo adesso r=(A/4)/L che ci dà il raggio della circonferenza inscritta. Quindi svolgendo i calcoli:
A=250
L=sqrt(125)=11.18
r=(250/4)/11.18=5.5
Incidentalmente si può notare come il centro della circonferenza inscritta sia anche l'incrocio delle diagonali del rombo.

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