Come trovare il circocentro di un ottagono

Tramite: O2O 27/06/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Un poligono inscrivibile ad una circonferenza è quel poligono che ammette l'esistenza di una circonferenza di centro O e raggio r passante per tutti i vertici del poligono stesso. Il centro O della circonferenza è chiamata circocentro del poligono. Un poligono generico è inscrittibile ad una circonferenza nel caso in cui tutti gli assi dei suoi lati si incontrino in unico punto: se tal punto esiste, esso è proprio il centro della circonferenza circoscritta al poligono ovvero il circocentro. Dopo questa piccola premessa andiamo a vedere come trovare il circocentro di un ottagono.

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Occorrente

  • carta e penna
  • Compasso
  • Matita appuntita
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Metodo grafico

Come detto nell'introduzione, il circocentro è il punto di intersezione degli assi dei lati dell'ottagono: dovremo quindi andare a tracciare l'asse di ogni lato di cui è costituito il nostro ottagono. Una volta tracciati gli otto assi vedremo che, se l'ottagono è inscrivibile, essi si incontrano in un unico punto. Il punto trovato è proprio il circocentro che volevamo identificare. Se volessimo anche disegnare la circonferenza circoscritta all'ottagono è sufficiente puntare il compasso sul circocentro appena trovato e, con ampiezza pari alla distanza tra esso e un vertice qualunque del poligono tracciare la circonferenza.

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Metodo analitico

Il metodo analitico è più complesso del metodo grafico e varia in base ai dati di cui disponiamo al momento. Tuttavia il punto di arrivo per poter calcolare la posizione del circocentro in geometria analitica è quello di determinare le distanze tra le coppie di punti consecutivi, ovvero conoscere la lunghezza di ciascun lato del poligono considerato. Nel caso dell'ottagono quindi è necessario determinare la posizione di ciascun vertice, di conseguenza potremo determinare il punto medio di ognuno degli otto lati. Una volta ottenuta la posizione degli otto punti medi della figura, si procede andando a determinare l'equazione delle otto rette passanti per tali punti e ortogonali al segmento di riferimento. Una volta ottenute le otto equazioni è sufficiente andare a farne il sistema. Per snellire i calcoli è sufficiente eseguire il sistema tra due qualsiasi delle rette e, una volta ottenute le coordinate del punto d'intersezione (che è proprio il circocentro dell'ottagono), verificare che tale punto appartiene alle sei rette rimanenti.

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Conclusioni

Il procedimento presentato sopra per un ottagono è valido allo stesso modo per qualsiasi altro poligono piano. Seguendo il metodo analitico si evitano errori di imprecisioni, inevitabili nel caso del metodo grafico, ed è possibile affermare con certezza se il poligono considerato è inscrivibile ad una circonferenza o meno.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • attenzione ai calcoli svolti
  • Tracciare righe molto sottili e poco marcate fino alla conclusione del disegno
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