Come trovare il baricentro di un triangolo nel piano cartesiano

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il sistema di riferimento cartesiano rappresentò un punto di svolta nello studio e nella comprensione della matematica e della geometria. La sua denominazione è dovuta al matematico e filosofo francese René Descartes (italianizzato in Cartesio), che nei primi anni del '600 ne pubblicò una rappresentazione nel suo "Discorso sul metodo", un'opera in parte autobiografica, fondendo algebra e geometria euclidea ed introducendo l'idea di poter localizzare un punto su una superficie mediante delle coordinate. Ancora oggi, i diagrammi cartesiani sono oggetto di studio nella geometria analitica. In un tipico esercizio di questa disciplina, è possibile imbattersi in un problema che richieda di trovare il baricentro di un triangolo situato in un piano cartesiano: per farlo, ci basta conoscere le coordinate dei tre vertici ed usare una semplicissima formula. Vediamo come procedere.

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Occorrente

  • formula matematica
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Per definizione, il baricentro (G) è quel punto del piano in cui si incontrano le tre mediane di un triangolo: per localizzarlo, ci serviremo delle coordinate X ed Y dei tre punti conosciuti della figura.
Per trovare l'ascissa (il punto corrispondente all'asse orizzontale) del baricentro, bisogna sommare le 3 ascisse (x) dei vertici del triangolo (che definiremo A, B e C) e dividere tale numero per 3. La formula sarà dunque: xG = (xA + xB + xC)/3.

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Identico procedimento andrà poi svolto per il calcolo dell'ordinata (y) del baricentro: sommando cioè le ordinate di ciascun punto dei vertici del triangolo e dividendo la risultante per 3. Questa è la formula: yG = (yA + yB + yC)/3. Dopo aver ottenuto entrambe le coordinate, sarà possibile localizzare il baricentro sul piano, trovandolo sempre all'interno del triangolo. Capita però, in altri problemi di geometria analitica, di conoscere già le coordinate del baricentro sul piano cartesiano, ma di dover dedurre la posizione di uno dei tre vertici del triangolo, avendo noti gli altri due. In tal caso, la formula usata precedentemente per trovare G, può essere usata inversamente per localizzare A, B o C.

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Ipotizzando di voler trovare l'ascissa del vertice C, bisognerà partire da quella di G: moltiplicandola per 3 e sottraendo quelle di A e B, otterremo la posizione longitudinale, come da seguente formula: xC = 3xG - xA - xB. Allo stesso modo, la formula per ottenere l'ordinata del vertice ignoto sarà: yC = 3yG - yA - yB. Grazie a questi semplici metodi, sarà possibile trovare la posizione sull'asse cartesiano di ognuno dei quattro punti di un triangolo (vertici e baricentro), conoscendone gli altri tre.

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