Come trovare i punti di intersezione tra retta e circonferenza

Tramite: O2O 30/08/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

La geometria è molto utile nello studio di diversi problemi. Solitamente viene affrontata il terzo anno del liceo in unione con la matematica. Inutile dire che provoca non pochi grattacapi a tutti gli studenti, tuttavia con le giuste dritte e una conoscenza approfondita dell'argomento riuscirete a risolvere qualsiasi esercizio che vi si proponga dinanzi. Oggi parleremo di un problema che ricorre molto frequentemente, quello di trovare i punti di intersezione tra diverse figure. In particolare analizzeremo come trovare i punti di intersezione tra retta e circonferenza. I passaggi esposti potranno poi essere generalizzati al caso di qualunque figura piana. Vediamo quindi come fare.

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Occorrente

  • Libro di matematica
  • Carta e penna
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Considerare un dominio piano

I punti di intersezione sono definiti in geometria come quei punti le cui coordinate soddisfano le equazioni di tre o più figure. Detto così sembra complicato, in poche parole si può dire che i punti di intersezione sono quei punti in cui tre o più figure coincidono, sono in contatto. Identificare questi punti significa trovare le giuste coordinate x, y e z (in un piano tridimensionale). Per definizione, queste coordinate dovranno soddisfare le equazioni delle tre figure, ovvero andando a imporle nell'equazione, questa deve dare risultato nullo. Per capire come trovare le coordinate consideriamo dapprima delle figure piane, ovvero definite in uno spazio bidimensionale. In questo caso il problema risulta più semplice in quanto le coordinate da calcolare sono solo due, la x e la y.

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Impostare un sistema

In un dominio bidimensionale le figure che si interseca possono essere anche solo due (nel caso tridimensionale devono essere invece almeno tre, due in quel caso identificherebbero un piano e non un punto). Delle due figure piane dovrete essere in possesso delle equazioni che le descrivono. Le equazioni vi saranno fornite dall'esercizio e dovranno essere funzioni di x e y, ovvero contenere al loro interno solamente x e y come incognite. Per trovare allora i punti di intersezione vi basterà mettere a sistema le due equazioni e trovare la coppia o le coppie (x, y) soluzioni del sistema. Questo appena fatto è un discorso del tutto generale e può essere applicato a qualsiasi figura piana, a patto che se ne conosca l'equazione.
In particolare una circonferenza ed una retta avranno due punti di intersezione, quindi troverete due coppie (x1, y1) e (x2, y2) soluzione del sistema.

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Verificare i risultati

Nel caso tridimensionale il procedimento è lo stesso tranne che per la presenza di una terza equazione, e quindi di una terza incognita (la z), nel sistema. In questo caso dovrete calcolare le terne (x, y, z) soluzione del sistema. Questo caso è poco probabile negli esercizi, tuttavia vi aiuta a capire ciò che state facendo. Infine è consigliabile effettuare sempre una verifica dei risultati trovati. La verifica va effettuata andando a sostituire i valori x e y trovati (nel caso bidimensionale) al posto delle x e delle y di ogni singola equazione e vedere che queste diano zero come risultato.

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