Come trovare i punti di discontinuità di una funzione

Quando una funzione a variabili reali è continua, il suo grafico sarà provo di spigolosità e interruzioni, rappresentato con una linea continua e senza strani raccordi e punti con angoli. Questo tipo di funzione è di solito piuttosto facile da studiare.Sfortunatamente la maggior parte delle funzioni non sono così lisce, anzi, molte sono piene di punti, detti di discontinuità, che ne interrompono, spesso in maniera strana, il grafico. Vediamo quindi come trovare i punti di discontinuità di una funzione in una variabile reale.

• esercizi sulle funzioni
• Calcolatrice
• grafico

I punti di discontinuità sono gli insiemi delle coordinate di una funzione in cui ci sono interruzioni, anche molto insidiose del grafico. In alcuni casi, infatti, la discontinuità si vede bene, perché la funzione non è definita su quei punti, ossia il risultato del calcolo delle coordinate è privo di senso. Ci sono due definizioni che andremo a vedere: la prima definizione è che una funzione viene denominata discontinua, se in un punto con x0 del suo dominio il limite f (x) non esiste, è infinito oppure esiste, ma è diverso da f (x0). La seconda definizione invece, presente spesso sui libri di testo, dice che una funzione diventa discontinua quando x0 è un punto di accumulazione del dominio che però non appartiene al domino, altrimenti x0 è un punto del dominio in cui lim x->x0 di f (x) non esiste, è infinito oppure esiste, ma è diverso da f (x0).

Le diverse definizioni di discontinuità per una funzione, generano tre tipologie di questa proprietà peculiare, che ci serviranno a capire come trovare i punti in cui il grafico non può essere disegnato. La prima è chiamata di "prima specie". Si presenta quando la funzione è dotata di limiti finiti, sia destro che sinistro, ma diversi per un punto. Un esempio pratico è questo: y=x per x

A questo punto, trovare e calcolare i punti di discontinuità, diventa abbastanza facile. Per capire al meglio come dobbiamo procedere, seguiamo questo esempio di funzione discontinua: f (x)=2x-2/x2-1. Se calcoliamo il limite sinistro e il limite destro di questa funzione. Infatti, risulterà che il primo limite sarà meno infinito, mentre il secondo limite più infinito. Quindi si tratta di una discontinuità di seconda specie. In generale, il sistema per calcolare le discontinuità è determinare la presenza di valori "strani" come le radici al denominatore, ma non solo, perché per esempio nel caso di una funzione complessa come f(x)=sen[x/(x+2)], la discontinuità è data dai valori dell'argomento del seno. Comunque, le radici del denominatore delle funzioni fratte sono tutti da valutare, le funzioni con tante espressioni su intervalli differenti sono candidate e in generale, le funzioni di funzioni discontinue, come quelle delle tangenti, per esempio, sono sempre da verificare.

• Le derivate sono uno strumento analitico importante per le discontinuità

• Classificazione punti di discontinuità di una funzione
• Appunti sulle discontinuità