Come trovare i punti critici di una funzione

Tramite: O2O 23/08/2017
Difficoltà: media
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Introduzione

L?analisi matematica è un campo particolarmente complesso, comprensibile solo grazie a buone basi matematiche e ad uno studio adeguato ed assiduo. Non è facile, infatti, sapersi districare tra i vari calcoli, formule e quesiti. Tramite questo tutorial, vi spiegheremo come trovare i punti critici di una funzione (detti anche punti stazionari), utilizzando un procedimento completo ed esaustivo. Seguendo attentamente tutti i passi, riuscirete voi stessi a risolvere e semplificare facilmente qualsiasi tipo di funzione, dalla più semplice alla più complessa. In tal modo, oltre ad avere la possibilità di apprendere delle regole matematiche particolarmente utili, potrete anche risparmiare il vostro denaro dal momento che non avrete la necessità di rivolgervi ad un professore per farvi impartire delle costose lezioni private.. A questo punto, non vi rimane che continuare a leggere con attenzione le semplici e dettagliate indicazioni riportate nei successivi passi di questa guida, per imparare utilmente come trovare i punti critici di una funzione.

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Occorrente
  • Un buon libro di analisi matematica
  • Impegno e costanza nello studio
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Definizione:

Tenete bene in mente che, in analisi matematica, dati i due insiemi A e B, si definisce funzione quella relazione che lega un elemento di A ad un solo elemento di B. A, essendo l?insieme di partenza, viene definito dominio della funzione, mentre B, l?insieme di arrivo, è chiamato codominio. Di conseguenza, se ne deduce che f: A ? B, cioè che f è funzione da A a B. Partendo da questo concetto base, potete dedurre quindi che l?argomento x, appartenente all?insieme X mediante la funzione f, può essere indicato come f (x). Viene definito punto critico di una funzione quel punto in cui il gradiente si azzera o non esiste: infatti, se vi trovate di fronte ad una serie di punti non critici, la funzione è sempre indicata con una retta, che può essere crescente o decrescente. Nei pressi di un punto critico, invece, la retta modifica in modo anomalo il suo andamento, a seconda che si tratti di punti di flesso, di massimo locale o di minimo locale. Se non avete ancora compreso bene questo passaggio logico-matematico, non demordete.

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Calcolare i punti critici:

Per calcolare i punti critici della funzione, il primo passaggio che dovete eseguire è il calcolo delle derivate parziali. Ponete di trovarvi di fronte alla seguente funzione:
f (a, b) = 2ab -2a³ + 3° - 9b ? 3b² + 6
A questo punto, iniziate a calcolare la derivata parziale rispetto ad ?a?:
fa (a, b) = - 6a² +2b +3
E proseguite calcolando la derivata rispetto a ?b?:
fb (a, b) = 2a - 6b ? 9
Adesso, dovete imporre il sistema:
- 6a² +2b +3 = 0
2a - 6b ? 9 = 0.

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Sostituzione:

Arrivati a questo punto, dovete procedere per sostituzione; partendo dalla seconda equazione, isolate b al primo membro e sostituitelo nella prima equazione:
b = (2a ? 9) / 6
-6a² +2 [(2a ? 9) / 6 +3 = 0]
A questo punto, sommate i termini simili:
(2a - 18a²) /3 = 0 ? 2a - 18a² = 0
Ed ecco che otterrete le seguenti due soluzioni:
a1= 0 a cui assocerete b1 = -9/6 = -3/2
a2= 1/9 a cui assocerete b2= -79/54
Avete, in questo modo, trovato i punti critici della funzione:
P1 (0, -2/3)
P2 (1/9, 79/54).

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