Come trovare i punti all'infinito di una quadrica

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica non è una materia che tutti amano anche se è molto importante nella vita quotidiana. Soprattutto arrivati agli studi universitari è molto impegnativo stare a pari passo allo studio se non lo si affronta con impegno e costanza. In questa guida impareremo come trovare i punti all'infinito (anche detti "punti impropri") di una quadrica che permettono di riconoscerne la tipologia e farne una distinzione netta e precisa tra ellissoidi, coni, cilindri e sfere. Il procedimento può sembrare un po' lungo ma basta prendere un po' di manualità per velocizzare i passaggi e capire, guardando solamente la matrice principale, cosa uscirà fuori, ma sarà necessaria molta pratica.

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La matematica comprende la geometria detta solida che studia figure quali coni, piramidi, cilindri, ecc. Arrivati all'università (specie in ingegneria e scienze matematiche) si andranno a studiare i solidi nello spazio euclideo: da equazioni si passerà a matrici e le si studieranno solamente in forma analitica. La prima cosa da fare per trovare i punti all'infinito è scrivere l'equazione della quadrica in termini di coordinate omogenee. A questo punto si considera l'equazione del piano all'infinito che è quella presente nell'immagine accanto. Si scriva la matrice che rappresenta la quadrica.

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Per particolari dettagli e chiarimenti è consigliata la visione dei seguenti link: link1 e link2 da cui questa guida prende spunto. Adesso è importante e necessario esercitarsi tantissime volte per velocizzare nei conti riuscendo a capire, solo guardando la matrice associata alla quadrica, quali siano i punti all'infinito (o impropri). Dunque proseguiamo.

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I coefficienti di x1x2 vanno nella posizione (1,2), quelli in x1x3 in (1,3) e così via sapendo, dalla teoria, che la matrice risulta simmetrica rispetto alla diagonale principale e che i termini in quest'ultima non vanno divisi ma vanno scritti così come sono. Nell'immagine accanto si vede un esempio. Da questa matrice si ricava la sottomatrice con determinante diverso da zero e la si moltiplica per il vettore colonna (x1, x2, x3, x4). Scritta l'equazione si impone x4 nullo (cioè la si fa incontrare con il piano improprio). A questo punto il più del lavoro è fatto, basta semplicemente scrivere termine a termine l'equazione ed ottenere le coordinate del punto (o dei punti). Nell'immagine accanto è presente un esempio che semplifica il concetto, si tratta della soluzione al problema 7.18a pagina 312 presente in questo file pdf.

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