Come trovare gli estremi vincolati in una funzione

Lo studio di funzione è uno degli argomenti matematici più ostici all'interno del programma delle scuole superiori, al punto che per completarlo effettivamente sono necessari studi universitari. Non è tanto per la difficoltà in sé dei calcoli, spesso risolvibili facilmente o con l'aiuto della calcolatrice (accettata dagli insegnanti perché il risultato richiederebbe calcoli di difficoltà eccessiva, relativi a studi universitari). La vera difficoltà sta nella numerosità di regole da ricordare, e dunque da applicare, ai diversi passaggi dello studio di funzione, al fine di ottenere, come "risultato" finale, un disegno graficamente corretto che vada a descrivere la funzione assegnata. Tra le varie fasi da studiare, c'è la ricerca di massimi e minimi, ossia quei punti graficamente estremi all'interno della funzione, molto utili anche per facilitare la stesura del disegno. Se volete sapere come trovare gli estremi vincolati in una funzione, leggete la seguente guida.

• LIbro di matematica di scuola superiore e libro universitario di analisi
• Calcolatrice scientifica

Per cercare i nostri estremi, ovvero i massimi e minimi di una funzione, prima di tutto dobbiamo avere una funzione. Se prendiamo per esempio una funzione generica f, descritta graficamente tramite semplici coordinate cartesiane x e y, definita come un insieme di punti il cui dominio appartiene al macrogruppo dei numeri reali, allora un qualsivoglia punto A appartenente a R (numeri reali) avrà le derivate parziali in A, le quali non sono altre che un tipo specifico di derivata direzionale, e dunque i calcoli sono riferibili al semplice svolgimento di un'operazione matematica, quale è appunto la derivata.

La direzione della funzione, a cui poc'anzi si accennava, non è di certo l'unico vincolo presente all'interno di una funzione. Un altro vincolo da tener presente è la parametrizzazione: si tratta di un'equazione matematica che, come suggerisce il termine, richiama la presenza di un numero n di variabile, a loro volta collegata ciascuna a dei particolari parametri. La parametrizzazione è strettamente legata al concetto di dominio: se per esempio il dominio della nostra funzione comprende tutti i punti compresi tra 0 e "più infinito", ossia tutti i numeri reali positivi, allora il vincolo è facilmente parametrizzabile come maggiore di 0.

Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è utilissimo per ridurre, all'interno di una funzione, il numero di variabili e di vincoli. In altre parole, esso ci aiuta ad escludere alcuni valori numerici scorretti, che potremmo ritenere validi eseguendo esclusivamente i passaggi precedenti. Questo metodo, tuttavia, è bene ricordarlo, non ci permette di classificare i punti stazionari della nostra funzione, ma solo di riconoscere la loro posizione assunta graficamente. Per applicare Lagrange, sarà necessario risolvere un sistema a tre equazioni, in cui di volta è volta è posta uguale a 0 una specifica funzione, detto appunto lagrangiana. Se il sistema è soddisfatto, il moltiplicatore è valido; in caso opposto è escluse dalle ipotesi di soluzione.

• Svolgete molti esercizi per fare pratica, inizialmente aiutandovi con i risultati forniti dal vostro libro

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