Come trovare gli estremi liberi in una funzione

Tramite: O2O 20/01/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa guida spiegherò come trovare gli estremi liberi, relativi o assoluti, di una funzione in due o più variabili. È' una nozione fondamentale per lo studio di alcuni esami universitari, in particolare Analisi 2. Non è un argomento estremamente complicato, ma si presuppone che tu sappia come calcolare le derivate parziali di una funzione e gli autovalori di una matrice.

Il metodo che esporrò si divide in due fasi: il calcolo del gradiente e lo studio della matrice Hessiana.
Tratterò, inoltre altri metodi, cioè quello delle rette e quello del segno, utili nel caso in cui la matrice Hessiana non ci dia informazioni utili.

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Studiare il gradiente

Innanzitutto bisogna verificare che la funzione sia derivabile due volte in tutto il dominio. Per il Teorema di Fermat sappiamo che tutti i punti stazionari sono punti in cui la funzione ha gradiente nullo. Quindi si procede a calcolare il gradiente, ossia il vettore le cui componenti sono le derivate parziali rispetto a x, y ed eventualmente z. Calcoliamo quindi le derivate parziali e cerchiamo i punti che le annullano tutte, essi saranno i punti stazionari della funzione.

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Studio della natura dei punti - Matrice Hessiana

Adesso ci rimane da capire, per ognuno dei punti trovati, se essi sono di massimo, minimo o sella. Per farlo dobbiamo costruire la matrice Hessiana, ossia la matrice composta da tutte le derivate parziali seconde. Bisogna quindi calcolare le derivate parziali seconde, sono un po' di calcoli, ma fortunatamente ci viene in aiuto il Teorema di Schwarz.
La matrice Hessiana ha questa forma: [fxx, fxy, fxz] [fyx, fyy, fyz] [fzx, fzy, fzz]
(nel caso ci siano solo 2 variabili basta togliere la riga e la colonna dove compaiono le derivate parziali rispetto a z)
Bisogna sostituire, quindi, uno alla volta, i punti trovati all'interno della matrice Hessiana e calcolarne gli autovalori. Ci possono essere 4 casi:1) Tutti gli autovalori sono positivi, il punto in questione è di MINIMO.2) Tutti gli autovalori sono negativi, il punto è di MASSIMO.3) Gli autovalori sono sia negativi che positivi, il punto è di SELLA.4) Uno o più autovalori sono nulli, non riusciamo con questo metodo a determinare la natura del punto.

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Metodi alternativi alla matrice Hessiana

Se la matrice Hessiana non è riuscita a chiarirci la natura del punto, ci sono due metodi alternativi che possono venirci in aiuto: il metodo delle rette ed il metodo del segno.
Il metodo delle rette ci permette di capire se il punto è di sella, altrimenti non ci dà alcuna informazione. Consiste nel prendere il fascio di rette passanti per il punto (x0, y0) y - y0 = m (x-x0). Fissiamo un m e valutiamo la funzione derivata nel punto. Se il punto non è né di massimo né di minimo per anche solo una retta, allora è un punto di SELLA. Se ci sono almeno 2 rette per cui il punto assume natura diversa, allora è di SELLA.
Metodo del segno: Supponiamo la funzione si annulla nel punto P = (x0, y0). Se esiste almeno un intorno del punto in cui la funzione è negativa, allora P è un punto di MASSIMO relativo; Se esiste almeno un intorno in cui la funzione è positiva, allora P è un punto di MINIMO relativo; Se in OGNI intorno del punto, la funzione è sia positiva che negativa, P è un punto di SELLA.
Se la funzione non si annulla, ma assume un valore c, effettuiamo lo stesso procedimento valutando la funzione g (x, y) = f (x, y) - c.

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Massimi e minimi assoluti

Adesso conosciamo tutti i punti stazionari della funzione e sappiamo anche la loro natura.
Ci può interessare trovare il massimo o il minimo assoluto della funzione. Innanzitutto bisogna ricordare che se la funzione è illimitata superiormente, non potrà mai avere un massimo assoluto. Allo stesso modo se la funzione è illimitata inferiormente, non potrà mai avere un minimo assoluto. Per capire quale dei punti trovati è assoluto, basta studiare brevemente la funzione o, ancor più semplicemente, valutarla nei punti trovati. Il punto dove la funzione avrà valore più grande sarà di massimo assoluto, allo stesso modo dove avrà il valore più piccolo sarà di minimo assoluto.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Non è un argomento particolarmente complesso, solo un po' oneroso in termini di calcoli.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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