Come trovare gli autovalori di una matrice

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa guida verranno date utili informazioni su alcune nozioni di matematica. L'argomento trattato riguarderà il calcolo matriciale che vi permette di trovare tutti gli autovalori di una matrice specifica. È bene precisare che quest'ultima non è altro che una tabella completa o semplice formata da righe e colonne. Per indicare il numero si utilizzano delle sigle, normalmente alle righe si assegna sempre la lettera "m" e per le colonne la lettera "n". Ogni elemento presente, possiede dei valori in pedice in cui viene menzionata la posizione all'interno di tutto il sistema. Se vi interessa capire come trovare gli autovalori, leggete con attenzione tale articolo e prendete appunti.

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Occorrente

  • Libro di matematica
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Definizione

Viene definita "matrice quadrata" quella che possiede il numero di "n" pari a quello di "m". Per queste categorie di tabelle, si possono facilmente definire dei numeri che possono portare all'ottenimento di una trasformazione lineare. Per capire meglio di cosa si sta parlando consideriamo un oggetto "A" di ordine "n" con particolari coefficienti in "R". Esso rappresenta una trasformazione di "Rn" in cui ogni vettore colonna "v" associa l’espressione "v' = Av". Quando si parla di questo, si indica una tabella costituita da una sola colonna. In questo caso "v" è un "autovettore", ovvero un indicatore la cui immagine non è altro che se stessa, moltiplicata per uno scalare definito normalmente come un “autovalore”. Quest'ultimo, per convenzione, viene formalizzato con il simbolo "lambda".

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Trovare una nuova matrice

Per trovare tutti i numeri si calcola la nuova matrice. Si deve moltiplicare la matrice "identità" con i rispettivi coefficienti che sono presenti. Si calcola il determinante tramite la regola di Sarrus. Il determinante trovato avrà delle incognite, quindi si pone una particolare equazione di grado "n". Questo termine indica essenzialmente il numero degli elementi nella diagonale principale. Le soluzioni dell'equazione sono gli "autovalori" della matrice di partenza.

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Esempi

Per esempio, se si considera un oggetto di dimensioni 2x2, sappiamo che troveremo 2 termini e dovremo risolvere un'equazione di secondo grado. Trovata la nuova struttura applichiamo la regola di Sarrus per ricavare il determinante. Nel caso dell'ipotesi in cui "n" coincide con 2, il risultato sarà la differenza tra il prodotto degli elementi della prima diagonale e il prodotto degli elementi della seconda diagonale. Poniamolo uguale a 0 e risolviamo il calcolo finale per risalire a ciò che vi interessa.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Esercitarsi con esempi numerici

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