Come trovare algebricamente l'intersezione di due rette

Tramite: O2O 12/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è sicuramente una materia da annoverare tra le discipline che mettono maggiormente in difficoltà gli studenti delle scuole superiori, sebbene essa spazi tra numerosi argomenti che possono essere percepiti come più o meno complessi. Uno dei più interessanti ma al contempo più spaventosi per chi è alle prime armi e non ha mai lavorato con un piano cartesiano è sicuramente l'algebra lineare a cui molto spesso gli studenti vengono iniziati attraverso lo studio delle rette, ente geometrico fondamentale. In questa guida, per aiutarvi, vi spiegheremo in maniera molto generale una tipologia di esercizio che risulta essere molto frequente per chi comincia a lavorare proprio con le rette. Di seguito troverete infatti una spiegazione su come trovare algebricamente l'intersezione di due rette attraverso lo sviluppo di due semplici equazioni.

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Costruire il sistema

Per sviluppare e risolvere tale problema è importante, innanzitutto, cominciare a stabilire le equazioni da cui partire. Le rette possono infatti presentarsi in due forme distinte: quella implicita che esprime entrambe le variabili allo stesso piano (esempio: 3x + 2y -1 = 0 ) e quella esplicita, in cui la variabile x è posta in funzione di y (esempio: y = 2x +1). Si consiglia di partire dalla forma esplicita, molto più comoda (certo il problema sarà risolvibile anche restando in forma implicita) in quanto ora dovrete andare a costruire un sistema. Si tratta infatti di risolvere due equazioni di primo grado con due incognite, in modo tale da trovare i valori di x e y che mostrano le coordinate del punto di intersezione tra due rette.

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Risolvere il sistema

Dovrete in sostanza procedere sostituendo la x o la y della prima equazione inserendo il valore trovato nella seconda equazione in questione.
Facciamo un esempio con due equazioni: -x= -y+1 e y= -2x-2. La x avrà un valore di x= y-1 e la y avrà un valore di y= -2x-2. Con il valore trovato dopo aver applicato il metodo di sostituzione sulla x, dovrete sostituire la x nella seconda equazione. In sostanza per trovare l'intersezione dovrete procedere sostituendo alla x il valore ottenuto: x= y-1 e y= -2(y-1)-2.
Procedendo con le equazioni, x sarà sempre x=y-1 e y= -2y+2-2. Si arriverà alla fine, a determinare il valore anche della y, fino ad capire i precisi punti di intersezione. La x sarà sempre x=y-1 e y= -2y cioè y+2y= 0. Per finire, prima di andare a sostituire la x, l'ultimo passaggio avrà un valore sempre di x= y-1 e 3y=0 e di conseguenza y=0.

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Trovare l'incognita mancante

Dopo aver stabilito che y= 0 e che x= y-1 è necessario sostituire il valore della y nella seconda equazione, per stabilire una volta per tutte dove si intersecano le due rette. Dunque x= 0-1 e y=0 e di conseguenza x= -1 e y= 0. I punti dove si intersecano le due rette, saranno quindi -1 e 0. Esistono comunque altri metodi per risolvere un sistema di equazioni: questo elencato è quello più utilizzato ma esiste anche, ad esempio, il metodo del confronto. Più avrete dimestichezza con i sistema più vi risulterà semplice capire quale sia il metodo migliore da applicare in ogni casistica.

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Verificare il risultato

Trovare il punto di intersezione tra due rette, tuttavia, può anche non essere un singolo esercizio ma il punto di partenza di un problema molto più articolato in cui si susseguono altre operazioni algebriche da eseguire in sequenza. Risulta quindi molto importante verificare il risultato per essere certi di non aver commesso alcun errore che rovinerebbe l'intero lavoro!
Vi sono due metodi per fare questo tipo di verifica: il primo è quello di tornare al sistema costruito inizialmente in cui si sono eguagliate le due equazioni delle rette e sostituire, al posto dell'incognita x o della y, il loro corrispettivo valore ottenuto nella soluzione. Se come risultato entrambe le equazioni delle rette assumeranno lo stesso valore allora sarete sicuri del vostro risultato.
Un'altra operazione consiste invece nella rappresentazione grafica delle due rette: disegnandole su un piano potrete infatti andare a cercare visivamente la loro intersezione verificando ad occhio se il vostro risultato algebrico è compatibile con quello grafico.

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