Come trasformare una retta esplicita in implicita

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La geometria analitica è una branca della matematica che combina la geometria euclidea con l'algebra. Lo scopo di tale disciplina è fornire metodi per analizzare e sviluppare le curve del piano mediante delle equazioni. La retta è il primo ente studiato dalla geometria analitica. Il primo passo da compiere è trasformare l'equazione di una retta dalla forma esplicita a quella implicita. In questa guida vedremo come effettuare tale trasformazione.

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Equazione esplicita della retta

L'equazione di una generica retta, scritta in forma esplicita, ha la seguente forma y=mx+q, dove: m è il coefficiente angolare indicante la pendenza della retta rispetto al semiasse positivo delle ascisse, (di equazione y=0). Esso corrisponde alla tangente trigonometrica dell'angolo spazzato dalla retta e dall'asse, nonché alla derivata prima dell'equazione della retta; q è l'intercetta origine ovvero il punto di intersezione tra la retta e l'asse delle ordinate, (di equazione x=0).

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Equazione implicita della retta

L'equazione di una generica retta, scritta in forma implicita, ha la seguente forma ax+by+c=0, dove la terna di valori (a,b,c) rappresentano rispettivamente i coefficienti dei due termini lineari ed il termine noto dell'equazione. Essi non presentano alcun vincolo, possono variare quindi in tutto l'insieme dei numeri reali, ed in particolare se c=0 si ottiene l'equazione di una retta passante per l'origine degli assi; se a=0 si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ascisse, mentre, se b=0 si ottiene l'equazione di una retta parallela all'asse delle ordinate. Vale, inoltre, la seguente proprietà notevole: date due rette di equazione ax+bx+c=0 e dx+ey+f=0, se esiste un numero reale k tale che: a=kd, b=ke, c=kf allora le due equazioni rappresentano la medesima retta.

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Passaggio dalla forma esplicita a quella implicita

In generale, per passare dall'equazione in forma esplicita a quella in forma esplicita è sufficiente trasportare tutti gli addendi dal secondo membro al primo membro, in modo da ottenere la seguente equazione: mx-y+q=0. In particolare se m e q sono due numeri razionali è sempre possibile esprimerli come il rapporto di due numeri interi, pertanto risulta: m=n1/n2 e q=n3/n4. Si effettui il minimo comune multiplo tra n2 e n4. Indicando con b il risultato della precedente operazione si ottiene:m=k1n1/b e q=k2n3/b, dove k1=b/n2 e k2=b/n4. Denominando k1n1= -a e k2n2= -c si ha la seguente epressione: y= - ax/b - c/b. Moltiplicando ambo o membri per b e portando tutto a primo membro si ottiene: ax+by+c=0, ovvero l'equazione della retta in forma implicita.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Effettuare con calma tutti i calcoli e fare molti esercizi per padroneggiare al massimo il metodo
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