Come tracciare una retta di regressione

Nel campo matematico le equazioni differenziali si applicano nell'analisi dei sistemi. Ciò significa che quando una quantità varia in una sola parte di un sistema, il suo tasso di variazione dipende dalle quantità nelle altre sue parti. La variazione, quindi, di una quantità influenza indirettamente la quantità stessa. Il fenomeno in questione è il cosiddetto feedback. Questa guida vi aiuterà nello specifico a comprendere come tracciare una retta di regressione.

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Per poter capire lo studio di una retta di regressione occorrerà disegnare un grafico. Partiamo dall'equazione seguente: z = 2x + y -1/6(x^2 + y^2). Come dominio di questa funzione si considera l'intero piano xy. A questo punto occorre trovare i massimi e i minimi di z. La z è una funzione derivabile di x e di y, quindi si applicherà il calcolo differenziale per tracciare la retta di regressione.

Tenendo fisso x, così x = x0, e ci si muove direzione y. Si genera un punto massimo se õz/õy = 0 e õ^2z/õy^2 < 0 e un punto di minimo se õz/õy =0 e õ^2z/õy^2 > 0. Nel nostro esempio: õz/õy =1 - 1/3y e õ^2z/õy?2 = -1/3. La derivata prima si annullerà per y = 3 e la derivata seconda è sempre negativa. In questo caso si ottiene un punto di massimo in y = 3. Per definire il punto di massimo o di minimo si dovrà soddisfare la condizione combinata õz/õx = 0 e õz/ õy = 0. Nell'esempio la coppia che la soddisfa è x =6 ed y = 3. Questo è il punto di massimo ed equivale a z = 7,5, mentre per gli altri valori l'ordinata zeta è un valore minore.

Continuando nella applicazione della retta di regressione bisogna studiare il metodo dei minimi quadrati. Con una serie di punti nel sistema delle coordinate cartesiane (x1, y1) (x2, y2)... (xm, ym), prossimi alla retta si trova la retta con la seguente equazione y = ax + b. L'ipotesi da fare è di assumere che nessun punto si trova più lontano di un certo ammontare dalla retta. Per calcolare la derivata della retta di regressione si calcolano tutti i quadrati della formula. Il passaggio di più semplice applicazione è la cosiddetta regola regola della catena. In questo modo le derivate del termine generale diventeranno: õ/õa (axi +b -yi)^2 = 2 (axi + b -yi) · xi, õ/õb (axi + b - yi)^2 = (axi + b - yi) · 1. Proseguendo nel calcolo della retta di regressione 2∑(axi + b - yi) xi = 0, 2∑(axi + b - yi) = 0. A questo punto bisogna eliminare il fattore due e calcolare le somme: a · ∑x^2 + b · ∑xi - ∑xiyi = 0, a · ∑xi + b · m - ∑yi = 0. Con questi semplici calcoli otterrete la linea di regressione. Ricordate che negli assi tra le coordinate e le ascisse occorrerà sostituire alle lettere x e y i parametri di riferimento per un'analisi statistica. Ad esempio, per disegnare la retta di regressione si parte dal numero di abitanti che risiede in cinque delle nostre città italiane.

• Il simbolo õ indica la lettera greca delta scritta in minuscolo.

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