Come tracciare un diagramma di Nyquist

Il diagramma di Nyquist detto anche polare è un sistema per rappresentare il comportamento delle funzioni di trasferimento alternativo al diagramma di Bode. Esso prende il nome da colui che lo inventò, Harry Nyquist, il quale, fra i vari studi si occupò anche, della Teoria delle Telecomunicazioni e della Teoria del Controllo. Nella Teoria del Controllo, il contributo più noto è il Teorema di Nyquist, creato per determinare la stabilità del sistema in catena chiusa.
La rappresentazione grafica che costituisce il diagramma permette di comprendere la stabilità della funzione. Vediamo come tracciare il diagramma di Nyquist.

• Calcolatrice, carta, penna e funzione di trasferimento

Quando utilizziamo Il diagramma di Nyquist per l'analisi della stabilità, è importante conoscereche i peculiari andamenti legati ai tre possibili stati del sistema associato: stabile, metastabile e instabile. Precisiamo subito che il diagramma che verrà trattato in questa guida, viene disegnato su un piano di Gauss, dove sull'asse orizzontale troviamo la parte reale, mentre sul verticale quella immaginaria, quindi stamo lavorando con numeri complessi. Detto questo, ora illustrerò i cinque passi da compiere per avere un andamento qualitativo del diagramma di Nyquist:
passo 1: l'analisi asintotica ??(0, ?); passo 2: calcolare le intersezioni con gli assi, se presenti; passo 3: costruire il diagramma di Bode delle fasi di G (j?); passo 4: Proprietà G*(j?)=G (-j?); passo 5: chiusura ad infinito, cioè compiere rotazioni di 180° in senso orario chiuse da 0- a 0+ ad infinito quanti sono i poli nell? origine. Eseguendo tutte queste operazioni, otteniamo un corretto diagramma di Nyquist.

Come accennato in precedenza, il diagramma di Nyquist viene disegnato su un piano immaginario, o di Gauss sul quale le coordinate sono espresse da coppie formate da parte reale e immaginaria, ma è necessario convertirle nella notazione di modulo e fase. Il modulo è la distanza del punto d'interesse dall'origine del piano, ottenuto come sqrt[(re^2)+(im^2)] mentre la fase è l'angolo che si apre fra l raggio vettore congiungente il punto e l'origine va a formare con l'asse positivo delle ascisse che qua rappresenta l'asse reale ed è letto convenzionalmente in senso antiorario. Questo angolo si calcola come atg (re/im). Dove per re e im si intendono la parte reale e quella immaginaria del numero.

È bene ricordare che, rispetto all'asse reale, questo diagramma risulta essere simmetrico. La variazione della risposta alla pulsazione (j?) da 0 a +inf, espressa nei diagrammi di Bode, è ciò che compone anche il diagramma di Nyquist.
Quindi possiamo continuare la spiegazione affermando che il percorso di Nyquist, è formato da un'asse immaginario, da semi cerchi di raggio infinitesimo e da un percorso all'infinito.

A differenza della rappresentazione di Bode quella di Nyquist usa un diagramma solo per ampiezza e fase, e permette tramite lo studio della direzione di avvolgimento e della presenza di poli e zeri a parte reale positiva, di determinare direttamente la stabilità della funzione di trasferimento. Una volta tracciato il grafico, si sceglie il punto -1+j0 che chiamiamo P. Il sistema in retroazione risulta stabile se il numero di giri che il diagramma compie in senso antiorario attorno al punto P è uguale al numero di poli a parte reale positiva della funzione di trasferimento, altrimenti il sistema non è stabile.

Una proprietà importante del diagramma di Nyquist è che nel caso in cui sia stata verificata la stabilità per un sistema che presenta un fattore di guadagno K, è inutile studiarlo per un sistema che differisca solo per il fattore di guadagno, perché il comportamento polare è indifferente. Nel caso di un sistema con guagagno mK il diagramma è lo stesso ma il punto P è della forma -1/m+j0 e l'analisi la medesima.

• Tracciare anche il diagramma di Bode