Come tracciare il luogo delle radici

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In analisi complessa il luogo delle radici è il luogo geometrico delle radici di una funzione complessa esposto a cambiare di un suo parametro reale, raffigurato sul piano di Gauss. Il luogo delle radici si può tracciare anche con il comando “rlocus”. Nel 1948 Evans lo utilizzò per la prima volta per individuare la stabilità interna di un sistema dinamico lineare stazionario in retroazione al mutare del guadagno d'anello per la funzione d’anello L (s): in tale circostanza applicativa risulta formato da rami, ciascuno la traiettoria che finisce una radice dipendente dai punti degli zeri e dei poli della funzione d'anello.
Vediamo subito come tracciare il luogo delle radici.

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Variabili

Le variabili non controllabili imposte da rumore a bassa frequenza di norma, operano in maggior parte su questo, e non sulla posizione delle singolarità, che propriamente sono note. Il suo uso maggiore è riservato a questa funzione, anche al fine della sintesi per decidere le variazioni indispensabili ad un controllore per il conseguimento di alcune particolarità minime come la velocità di risposta. La prima considerazione da fare prova la posizione "iniziale" (con k → 0) delle radici. Se ricaviamo dal comando intorno regolarmente dei piccoli poli ad anello aperto, che chiameremo sorgenti, per k prossimo così, le radici si vedono sulle prime a ridosso delle p sorgenti . N (s) e D (s) definiscono rispettivamente il numeratore e il denominatore di G (s). Va esaminato che il numero di radici, eccetto di eliminazioni tra kN (s) e Pk (s)=D (s)+kN (s), è rigorosamente pari al grado di Pk (s); in un insieme rigorosamente proprio, questa quantità fa tornare l'ordine di D (s), che è specifico p, per qualsiasi k. Se, una cancellazione implica l'esistenza di una pulsazione complessa s0 tale per cui sia regolare, chiaramente, non sussistono radici del genere per k non nullo. In conclusiva, possiamo stabilire che in un sistema strettamente proprio, il numero di radici si conserva: esso corrisponde senza eccezione con il numero di sorgenti, p. Si esamini che per k diverso da zero, i poli ad anello aperto non sono di sicuro radici di Pk (s); dunque una radice non sosterà mai su una sorgente ma, al variare di k, si muoverà rappresentando, una curva continua.

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Polinomio

Il punto delle radici di L (s) all'istante k è determinata dagli zeri del polinomio Pk (s), ossia dalla requisito G (s)=-k-1. Quest'estrema si traspone in una condizione sul modulo, del tutto sprovvista di coinvolgimento dato che qualsiasi vibrazione complessa s verifica il vincolo per qualche k, e in una requisito sulla fase, dalla quale è probabile tirare fuori tutte le indicazioni fondamentali. Se si attribuisce per naturalità che i polinomi N (s) e D (s) siano in forma canonica, essa, diviene dove Θ(k) è il gradino di Heaviside e zk, pk riproducono gli zeri e i poli ad anello aperto, che denomineremo singolarità isolate; si esamini che (s-s0) descrive il vettore fissato in s0 e che punta a s. Il grafico per valori di k positivi è detto luogo diretto, per k negativi luogo inverso. Il prodotto di conseguire in uno dei due luoghi cambia radicalmente l'aspetto del grafico.

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Considerazioni

Per tracciare il luogo alle radici teniamo presente che: siano presenti n, d, m relativamente a il grado di N e D, e la loro differenza: Vengono di conseguenza mostrate le leggi per il tracciamento dei luoghi, in disposizione di attuazione pratica. I rami partono dai poli cioè tendono ai poli per Fa parte del posto totale tutto l'asse reale ad eliminazione dei poli. Fanno parte dello spazio diretto tutti i punti a sinistra di un numero dispari di pluralità. Quindi muovendo da destra l'intervallo dalla radice massima all'infinito non è di proprietà del luogo diretto, ma fa parte a quello inverso, e ogni intervallo antecedente ha rispetto al seguente attinenza invertita solo se la radice che li separa ha molteplicità dispari. In ogni zero arriva un numero di rami correlativo alla propria molteplicità per In ogni zero arriva un numero di rami correlativo alla propria molteplicità per I punti di intersezione con l'asse reale si acquisiscono sempre dall’insieme.
Si trovano così le coppie di s* e k* che corrispondono sul luogo ai punti (s*,0), con k=k*.

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