Come svolgere uno studio di funzione in 2 variabili

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Quanti di noi, all'università, sono incappati in una funzione matematica a più variabili? Magari è proprio lo studio di quest'ultima che vi ha impedito di superare l'esame di Analisi Matematica 2 e siete disperati perché non riuscite in nessun modo a risolvere l'esercizio assegnatovi. Ma non temete, ecco una breve guida che vi spiegherà passo passo come svolgere tutti i passaggi per ottenere 30 in un esame che probabilmente non speravate neanche di riuscire a superare.

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Per prima cosa bisogna determinare il dominio della funzione, cioè il suo campo di esistenza. Per fare ciò bisogna porre più di una condizione, esattamente almeno una per ogni variabile. Le regole sono le stesse che vengono utilizzate per trovare il dominio delle funzioni ad una variabile:-se c'è una frazione, il suo denominatore deve essere posto diverso da 0;-se c'è una variabile con esponente negativo, la bisogna porre diversa da 0 la variabile stessa;-se c'è una radice con indice pari bisogna porre l'argomento della radice maggiore o uguale a 0;-se c'è un logaritmo (con base qualsiasi) bisogna porre l'argomento maggiore di 0.

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Ci serve ora scrivere la matrice Hessiana. Andremo quindi a calcolare la derivata seconda rispetto ad x e la derivata seconda rispetto a y della funzione di partenza. La prima derivata ottenuta la poniamo nella posizione in alto a sinistra della matrice, mentre la seconda derivata ottenuta nella posizione in basso a destra. Calcoliamo poi la derivata parziale seconda rispetto ad y della derivata parziale prima rispetto ad x ed infine la derivata parziale seconda rispetto ad x della derivata parziale prima rispetto ad y. Poniamo quindi la prima derivata di queste nell'angolo in alto a destra della matrice, la seconda di queste invece nell'angolo in basso a sinistra. Abbiamo così ottenuto la nostra matrice Hessiana.

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Ci dedichiamo ora alla ricerca dei punti di sella, di massimo e di minimo. Si comincia calcolando il gradiente della funzione: questo è definito come il vettore che ha per coordinate la derivata parziale prima rispetto a x e la derivata parziale prima rispetto a y della funzione. Dopo aver calcolato il gradiente, scriviamo un sistema in cui poniamo entrambe le sue coordinate uguali a 0. Risolto il sistema avremo quindi una o più coppie di risultati che per ora metteremo da parte.

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Si tratta ora di calcolare il determinante delle matrici Hessiane valutate nei punti ottenuti nel PASSO 2. Per farlo basta sostituire i valori di x e y dei punti all'interno della matrice Hessiana. Se ne calcola quindi il determinante e si ottiene un valore numerico che si andrà a considerare in seguito.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Munirsi di un buon libro di Analisi Matematica II

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