Come svolgere un integrale indefinito

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Qualsiasi sia il tuo corso di studio, prima o poi ti troverai ad affrontare un integrale indefinito. Molti credono, erroneamente, che risolvere un integrale sia una cosa estremamente difficile, che bisogna essere al corrente di chissà quali verità matematiche. Bene, oggi voglio mostrarti come svolgere un integrale indefinito senza bisogno di notevoli conoscenze. Quindi bando alle ciance e inoltriamoci nel fantastico mondo degli integrali indefiniti.

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Integrale indefinito: cosa rappresenta

Come già saprai, l'integrale indefinito è l'operatore inverso della derivata. Ciò vuol dire che il risultato di un integrale indefinito è una funzione, detta primitiva, che se derivata ci darà la funzione integranda, ovvero quella che si trova sotto il segno dell'integrale. In realtà la soluzione di un intregrale indefinito non è mai univoca a causa della presenza di una costante, la tipica "+c" al termine di ogni risultato, che ci ricorda che la derivata di una costante è zero, per cui andando a derivare quella funzione, qualsiasi sia "c", otterremo comunque la funzione integranda.

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Regole per svolgere un integrale

Ora che sappiamo cos'è un integrale indefinito, passiamo a come trovare la soluzione. Trovare la soluzione richiede senza dubbio una certa destrezza, ma ciò ti verrà automatico solo facendo esercizio. Come prima cosa bisogna tener presente le regole di integrazione. Sono delle regole che ci permettono di semplificare un integrale che si presenta in una forma un po' più complessa, e sono molto facili ed intuitive. Ad esempio, qualsiasi costante che moltiplica la funzione integranda può essere portata fuori dall'integrale e svolgere quest'ultimo senza considerarla, una volta ottenuta la soluzione, moltiplicarla per la costante. Per cui ᶴcf (x) dx diventa cᶴf (x) dx. Allo stesso modo l'integrale di una somma è la somma degli integrali, quindi ᶴ(f (x)+g (x)) dx diventa ᶴf (x) dx + ᶴg (x) dx e la soluzione sarà la somma delle due soluzioni. Su ogni libro di matematica che si rispetti, potrete trovare queste e altre regole di integrazione che trasformeranno i vostri mostruosi integrali in semplici integrali risolvibili con uno o due passaggi.

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Integrali noti

Come per le derivate, anche per gli integrali ci sono gli integrali noti, ovvero quegli integrali di base grazie ai quali si possono risolvere integrali ben più complessi. Integrali di questo tipo sono detti anche "immediati", proprio a sottolineare la facilità con la quale si perviene al risultato. Tra questi i più importanti da tener a mente per svolgere facilmente integrali più complessi sono quelli delle funzioni trigonometriche come seno e coseno, quello dell'esponenziale e soprattutto quella di una funzione polinomiale (tenetelo ben a mente).

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Metodo di risoluzione per parti

È senza dubbio uno dei metodi maggiormente adoperati per la risoluzione di un integrale e consiste nel trovare due "sottofunzioni" della funzione integranda e scegliere di applicare la derivata ad una delle due e l'integrale all'altra. Il consiglio è di scegliere di integrare quella facile da integrare, ad esempio una f (x)=e^x, che è un integrale immediato, e di derivare l'altra. La soluzione di questo integrale si ridurrà ad essere un integrale più semplice, ed in particolare otterremo che ᶴf (x) g (x) dx=df (x)/dx g (x) - ᶴdf (x)/dx g'(x) dx. Il secondo integrale, quello a destra dell'uguale, sarà in generale un integrale immediato; nel caso in cui non lo fosse, sarebbe possibile riapplicare il metodo per parti fino a raggiungere un integrale di facile risoluzione. La difficoltà di questo metodo è principalmente la scelta di quale delle due "sottofunzioni" integrare e quale derivare, ma con la pratica sarete in grado di scegliere la più adatta.

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Integrali e sviluppo in Serie di Taylor

Questo metodo sicuramente non è adatto a chi è alle prime armi con gli integrali, ma può rivelarsi un ottimo suggerimento per chi invece sta cercando di risolvere un integrale davvero impossibile. Poche righe fà abbiamo detto di tener bene a mente l'integrale noto di una funzione polinomiale. Questo ci può tornare utile se sappiamo che ogni funzione può essere espressa in Serie di Taylor, ovvero essere espressa mediante delle funzioni polinomiali. Avendo quindi espresso una funzione in serie di Taylor è possibile ricondursi alla risoluzione di un integrale di funzione polinomiale e risolverlo agevolmente. Ricordate però, che una serie di Taylor approssima la funzione originaria, ma non sarà mai la stessa identica funzione, per cui teniate conto di ciò qualora il vostro intento non sia quello di avere un risultato fine a se stesso.

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