Come svolgere un integrale circuitale

Tramite: O2O 25/03/2017
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Per poter calcolare un integrale circuitale si devono avere dei prerequisiti fondamentali.
La conoscenza degli integrali, di funzioni derivabili, di funzioni complesse, calcolo dei limiti e parametrizzazione di curve.
Sono nozioni che si apprendono dalla scuola superiore tranne che la parametrizzazione e lo studio delle funzioni complesse. Ecco come svolgere un integrale circuitale.

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Funzione complessa

Definizione:
preso un qualsiasi cammino C che collega due punti, consideriamo una funzione complessa (a valori complessi) definita sopra questo cammino. L'integrale di f su C è definito da (vedi formula (1)) dove r: [a, b] --->C è una parametrizzazione di C
Per fare un esempio concreto consideriamo la funzione f (z)=z^4 definita in un cerchio C_1(0) di raggio di raggio 1 avente come origine, l'origine 0 del piano complesso.

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Teoremi sulle funzioni

Teoremi sulle funzioni che ammettono primitive. Una funzione che ammette primitive è molto semplice da integrare lungo un circuito chiuso perché il suo integrale fa zero. Quindi avere a disposizione dei teoremi su come riconosce queste funzioni ci semplificherebbe di molto la vita.
Definizione:
Una funzione f è detta olomorfa in un insieme aperto contenuto in C (insieme dei numeri complessi) quando è derivabile in ogni punto di questo aperto
Definizione:
Date due funzioni f e F definite su un aperto dei numeri complessi allora diciamo che F è una primitiva di f quando F è olomorfa e F'(z)=f (z).



Consideriamo ora un teorema che ci permetterà di calcolare, senza il bisogno di parametrizzare, l'integrale di funzioni complesse anche su insiemi non connessi o meglio su insiemi che presentano un numero finito di singolarità (di buchi dove la funzione vale infinito ad esempio).
Analogamente allo sviluppo di Taylor per una funzione reale esiste lo sviluppo di Laurent per una funzione complessa che presenta una singolarità (un punto dove la funzione vale infinito). Nel caso della funzione 1/z la singolarità si trova nell'origine infatti 1/0 fa infinito.

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Il Teorema dei Residui

Senza entrare troppo nei particolari dello sviluppo di Laurent il primo coefficiente della parte singolare dello sviluppo di Laurent si chiama residuo.
Definizione:
Sia z_0 un punto di singolarità di ordine n per la funzione f allora il residuo res (f, z_0) si trova (vedi formula (6)). L'ordine della singolarità, conosciuta meglio con il nome di polo, rappresenta il grado della funzione in questione. Ad esempio la funzione 1/z^2 ha un polo di ordine 2 nell'origine .

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Sviluppo di Laurent

Senza entrare troppo nei particolari dello sviluppo di Laurent il primo coefficiente della parte singolare dello sviluppo di Laurent si chiama residuo.
Definizione:
Sia z_0 un punto di singolarità di ordine n per la funzione f allora il residuo res (f, z_0) si trova (vedi formula (6)). L'ordine della singolarità, conosciuta meglio con il nome di polo, rappresenta il grado della funzione in questione. Ad esempio la funzione 1/z^2 ha un polo di ordine 2 nell'origine .

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