Come svolgere la trasformata di Laplace

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In ingegneria e fisica si utilizzano spesso trasformazioni particolari che consentono di semplificare i calcoli e studiare condizioni che altrimenti sarebbero quasi impossibili. Per esempio lo studio di sistemi integro-differenziali, nei domini della frequenza ed altri analoghi diviene semplicissimo grazie alle trasformate di Fourier e di Laplace. Queste trasformate su usano particolarmente per i calcoli in elettrotecnica e per la meccanica, che si trovano a cavallo fra il dominio temporale e frequenziale. Con questa breve guida vi mostrerò come svolgere la trasformata di Laplace.

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Occorrente

  • Carta
  • Penna
  • Funzione da trasformare
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Calcolo formale

La trasformata di Laplace di calcola con un'integrazione e un passaggio al limite relativamente semplici. Si prende la funzione nel dominio del tempo e la si moltiplica per una trasformate che è esplicitata nella forma: e^-ts . Si effettua l'integrale nel dominio del tempo per valori di t, che è la variabile di integrazione per valori compresi fra 0 ed R . A questo punto si passa al limite per R che tende all'infinito. La condizione da rispettare per l'integrazione è la sua convergenza, altrimenti la trasformata non è possibile.

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Calcolo semplificato

La trasformata di Laplace, nel momento in cui si è verificata l'esistenza dell'integrale, si fa spesso tramite funzioni tabulate. Se si ha in mano una funzione da trasformare, conviene spesso verificare se ne esiste una trasformata nota. Come già detto, la trasformata di Laplace è molto utile nei campi delle equazioni integro-differenziali. Gli operatori integrali e derivata, se trasformati, divengono prodotti, per 1/s il primo e per s il secondo. Questo spiega il successo della trasformata e la sua diffusione come strumento analitico.

Continua la lettura
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Proprietà della trasformata

La trasformata di Laplace gode di molte proprietà semplici da capire e comode per il calcolo. Le trasformate sono lineari, quindi una combinazione lineare di funzioni di trasforma come combinazione lineare delle singole trasformate. Una traslazione nel tempo di T diventa (s-T) a moltiplicare la trasformata della funzione per T=0. Gli integrali diventano 1/s che moltiplica la trasformata della funzione da integrale. Le derivate divengono s che moltiplica la trasformata della funzione da derivare. Il prodotto di funzioni si trasforma come convoluzione fra le trasformate. La convoluzione invece diviene prodotto. Ci sono altre proprietà particolarmente utili relative ai prodotti per t elevati a potenza e per funzioni periodiche, ma esulano dai fini di questa guida.

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