Come sviluppare una funzione in serie di Laurent

Per studiare una vasta gamma di fenomeni naturali spesso si ricorre all'uso dei numeri complessi. Essi sono uno strumento molto efficiente per descrivere situazioni fisiche particolari. Un esempio è dato dai moti oscillatori, descrivibili tramite armoniche sinusoidali di differente pulsazione. Esso è un problema estremamente articolato nel dominio del tempo, ma risulta notevolmente semplificato in quello dei numeri complessi. La padronanza nell'uso e nella manipolazioni di funzioni complesse definite nel piano di Gauss permette una trattazione sistematica e lineare di situazioni fisiche molto complicate. In questa guida parlerò delle funzioni complesse di variabile complessa ed in particolare di come sviluppare le stesse in serie di Laurent.

In analisi complessa, si definisce funzione complessa di variabile complessa un'applicazione che mette in corrispondenza un certo insieme S di numeri complessi, con un altro insieme T di numeri complessi. Un numero complesso non è altro che una coppia di numeri reali,(z=(x,y)), rappresentabile mediante la forma algebrica, (z=x+jy), la forma trigonometrica, (z=mod(z)*(cos(arg(z)+jsen(arg(z))), o la forma esponenziale, (z=mod(z)*exp(jarg(z)); pertanto, una funzione complessa presenta le medesime rappresentazioni. Una proprietà, di notevole importanza, per tale classe si funzioni è la derivazione in senso complesso, detta anche olomorfia. Tramite tale proprietà sarà possibile effettuare lo sviluppo in serie di Laurent.

Sia data una funzione complessa f(z) definita in una corona circolare, C, di raggi r e R, (r0, esisterebbe un intorno circolare di k nel quale la funzione è sviluppabile in serie di Laurent. Tramite la serie di Laurent è possibile classificare i punti di non olomorfia, semplicemente valutando la forma della parte singolare della serie. Se per ogni n appartenente ad N A-n=0, allora k è un punto singolare eliminabile e la serie di Laurent centrata in k corrisponde alla serie di Taylor di centro k; se esiste un numero a per cui risulta A-n=0 per ogni n>a allora k è un polo di ordine a; altrimenti se esiste un'infinità numerabile di termini A-n diversi da 0 allora k è un punto singolare essenziale.

Per poter scrivere una generica funzione, f(z), in serie di Laurent in un punto centrale k bisogna adeguatamente modificare la struttura della funzione in modo da far figurare il centro k e ricondurre la sua forma a quella della somma di una serie nota. È possibile, inoltre, sfruttare la proprietà di linearità della serie, scomponendo la funzione in fratti semplici riconducibili alle somme di una serie di potenze o di una serie armonica. Sia data, ad esempio, una funzione razionale i cui numeratore e denominatori siano rappresentati da due polinomi, rispettivamente p(z) e q(z). Si ricercano le radici del denominatore, R1...Rs, e lo si scrivi some il prodotto di s termini lineari: q(z)=(z+R1)^b*?*(z+Rs)^c, dove gli esponenti naturali rappresentano la molteplicità algebrica delle soluzioni ricavate. Si effettui allora la scomposizione in fratti semplici in modo da ottenere un certo numero di addendi elementari che generalmente rappresentano la somma di una serie di potenze. Ricompattando gli sviluppi in serie dei singoli termini si ottiene quello della funzione di partenza.

La serie di Laurent, di una funzione f(z), si dice convergente in un certo punto z se la sua somma, calcolata in quel punto, è finita. Essa presenta delle proprietà di convergenza dipendenti fortemente dalla sua struttura. È possibile definire una quantità detta raggio di convergenza, la quale ci fornisce un'indicazione dell'estensione dell'insieme di convergenza della serie. Esso può essere nullo, in tal caso la serie converge solo nel suo punto centrale; finito, quindi la serie converge in un cerchio centrato nel centro della serie e avente come raggio il raggio di convergenza; infinito, pertanto la serie converge in tutto il piano di Gauss. Nel caso in cui il raggio di convergenza sia finito, si può certamente affermare che la serie converga entro il cerchio, non converga fuori dalla cerchio, ma non si può dire nulla circa il suo comportamento lungo la frontiera del cerchio. La serie, calcolata nei punti di frontiera, può sia convergere che divergere o essere irregolare.

Il temine A-n, con n=1, dello sviluppo in serie di Laurent di una funzione f(z), prende il nome di residuo integrale. Esso è una quantità molto utile, utilizzata per il calcolo degli integrali complessi. Il nesso tra la risoluzione di un integrale complesso ed il residuo integrale è garantito da un teorema di enorme potenza, detto Teorema dei Residui, il quale enuncia che l'integrale esteso ad un dominio D di una funzione f(z) è uguale, a meno di un termine 1/2?j, alla somma dei residui integrali della funzione calcolati dai punti singolari isolati della stessa entro il dominio D. Gli integrali complessi sono uno strumento molto efficiente per il calcolo di integrali reali non elementari, pertanto la conoscenza profonda della teoria dei residui garantisce l'acquisizione di tecniche indispensabili per la risoluzione di una vasta quantità di problemi.