Come studiare una successione ricorsiva

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Una successione ricorsiva è un'esercizio non sempre semplice da svolgere. Infatti, bisogna avere delle conoscenze pregresse base, che devono essere applicate per poi studiare e risolvere l'esercizio.
Innanzitutto, è necessario che vi sia chiaro il concetto di successione. Nell'analisi, la successione, detta anche sequenza infinita, consiste in un insieme di infiniti elementi. Tali elementi, ordinati e quantificabili, vengono solitamente definiti come termini della successione. Sono individuabili tre fondamentali caratteristiche della sequenza infinita/successione. Esse sono: la corretta disposizione dei termini; la possibile ripetizione di un termine, e la coincidenza di due o più termini. Sono queste peculiarità che distinguono la successione ricorsiva dall'insieme numerabile. La successione ricorsiva, infatti, si costituisce di un dominio N di numeri naturali, che appartengono al totale di R, cioè numeri reali. Come grafico, dunque, si può rappresentare la successione come N moltiplicato per R.
In questa breve guida, apprenderete il concetto ed i calcoli riguardanti la successione ricorsiva.

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Definizione

Compreso cosa sia la successione, si può studiare le nozioni base della ricorsiva. Nella successione per ricorrenza, i primi termini sono quantificabili. Questo significa che di certi termini, detti casi base, è conosciuto il valore numerico. Considerate la seguente successione ricorsiva:
(n0, n1, n2, …).
Per calcolare il termine non noto (nx), potete ricorrere alla funzione f (n), tale che:
nx = f (nx - n1).
Ragion per cui, basandosi sul primo termine della successione ricorsiva, i termini seguenti sono ottenibili partendo dalla funzione stessa.

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Successione di Fibonacci

La comprensione della successione ricorsiva vi permetterà di studiare la cosiddetta successione di Fibonacci. Si tratta di una successione ricorsiva di secondo ordine. La sua peculiarità consiste nel fatto che i primi due elementi della successone sono sempre uguali a 1. Si costituisce unicamente di numeri interi positivi. Il funzionamento della successione di Fibonacci consiste nel fatto che ogni elemento si ottiene dalla somma dei due termini precedenti. Di conseguenza, se F1 = 1 e F2 = 2:
Fx = Fx-1 + Fx – 2.
Questa regola vale ogni volta che x è maggiore di 2.
Secondo il criterio della ricorsiva, dunque, potete ricavare la seguente successione di Fibonacci:
1,1,2,3,5,8,13,21, eccetera.

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Esercizio

Eccovi un esercizio pratico per testare di aver compreso il concetto. Considerate la seguente successione. N0 =5
nx = 2n x-1
con x maggiore o uguale ad 1.
Si deve calcolare n3. Come si procede?
Studiamo i valori, così da estrapolare facilmente il risultato:
n0 = 5
n1 = 5 ∙ 2
n2 = 5 ∙ (2)^2
n3 = 5 ∙ (2)^3.
Potete intuire che la formula della successione corrisponde a:
nx = 5 ∙ 2 ^x.
E dunque la successione ricorsiva finale è:
5, 10, 20, 40…
Studiare la successione ricorsiva necessita di particolari competenze teoriche. Una volta acquisite le nozioni, però, il calcolo diventa estremamente deduttivo. Per meglio comprendere le varie tecniche di successione, vi consigliamo di esercitarvi con costanza ed impegno. La regolare applicazione favorisce la velocità di svolgimento e comprensione degli esercizi.

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