Come studiare un limite di successione

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tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In questa guida andremo a vedere come è possibile studiare un limite di successione. Ma prima di tutto è necessario sapere cos'è una successione. Una successione reale non è nient'altro che una sequenza illimitata di numeri, si parte da un numero reale e ad esso se ne abbina poi un altro e cosi via a continuare all'infinito.

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Gli elementi di una successione sono definiti termini, essi sono riconoscibili in quanto si possono contraddistinguere mediante una lettera ma che sia sempre la stessa. Ovviamente provvista di indice.

Una successione può essere individuata mediante due modi:

- per enumerazione: ossia affianco ad ogni numero naturale il corrispettivo numero reale-mediante una funzione: individuare la successione affermando però che ad ogni numero naturale ci si abbina un numero An.

- per ricorrenza: ossia consiste nell'assegnare il primo termine e la legge che unisce i termine successivi.

Le successioni sono in reale delle vere e proprie funzione ma leggermente diverse, per cui possono equivalere le stesse definizioni usate per esse. Inoltre le successioni possono essere anche rappresentate dal punto di vista grafico, il tutto attraverso l'uso di un piano cartesiano con dei punti disegnati qua e la lungo l'asse delle ordinate e delle ascisse.

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Una successione può essere individuata mediante due modi:


- per enumerazione: ossia affianco ad ogni numero naturale il corrispettivo numero reale-mediante una funzione: individuare la successione affermando però che ad ogni numero naturale ci si abbina un numero An.


- per ricorrenza: ossia consiste nell'assegnare il primo termine e la legge che unisce i termine successivi.


Le successioni sono in reale delle vere e proprie funzione ma leggermente diverse, per cui possono equivalere le stesse definizioni usate per esse. Inoltre le successioni possono essere anche rappresentate dal punto di vista grafico, il tutto attraverso l'uso di un piano cartesiano con dei punti disegnati qua e la lungo l'asse delle ordinate e delle ascisse.

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Come detto in precedenza, le successioni sono delle vere e proprie funzioni, per tal motivo si può parlare di un limite di una successione. Da ciò che si può evidenziare su un apposito grafico, è visibile che non si può valutare il limite di una successione per n che tende ad un valore finito, ma essendo n illimitato, tenderà sicuramente verso l'infinito. Una successione ha un limite l è definito convergente, mentre se il limite è tendente a più o meno infinito allora sarà definito divergente. Insieme sono anche definite regolari. Se invece non vi un limite la funzione è definita irregolare. Anche nel caso delle funzioni vagono alcuno teoremi come:Unicità del limite: se ammette ammette limite esso è unico. Del confronto e infine Permanenza del segno: Nel caso i cui {an} ammette limite ` > 0, oppure +∞, allora di tratta di un limite positivo in caso contrario se (an} `e non-negativa ed ammette limite `, allora ` ≥ 0 oppure ` = +∞Monotonia ogni tipologia di tale successione risulta essere regolare. Se {an} `e monot`ona crescente o non-decrescente, si ha lim n→+∞an = supn{an}; se `e monot`ona decrescente o non-crescente, si ha lim n→+∞an = infn {an}.

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